微积分（二）同步练习

苏州大学理工类高等数学(课次练习) 班级 学号 姓名 1

§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）

一、设u?2a?b?c,v?a?2b?c，试用a,b,c表示2u?4v．

二、a,b,c为三个模为1的单位向量，且有a?b?c?0成立，证明：a,b,c可构成一个等边三角形． 三、把△ABC的BC边四等分，设分点依次为D1、D2、D3，再把各分点与点A连接，试以

AB?c、BC?a表示向量D1A、D2A和D3A．

四、已知两点M1?1,2,3?和M2?1,?2,?1?，试用坐标表示式表示向量M1M2及?3M1M2．

五、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：A?1,1,1?，B?2,?1,1?，

C??2,?3,?4?，D??3,4,?5?．

六、求点?x,y,z?关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标．

§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积

一、 二、

试证明以三点A?10,?1,6?、B?4,1,9?、C?2,4,3?为顶点的三角形是等腰直角三角形． 设已知两点M15,2,2和M2?4,0,3?，计算向量M1M2的模、方向余弦和方向角，并求与

??M1M2方向一致的单位向量．

三、 设m?2i?3j?4k,n?4i?j?2k及p??i?2j?3k，求a?2m?3n?2p在x轴上的投影

及在z轴上的分向量． 四、 五、

已知a,b,c为三个模为1的单位向量，且a?b?c?0，求ab?bc?ca之值． 已知a?2i?3j?k,b?i?j?k和c?i?j，计算：

??a?c；b ?2?a?b?b?c； ?3?a?bc． ?1?abc六、

七、

已知OA??1,2,3?，OB??2,?1,1?，求△AOB的面积．

设a??2,?1,3?,b???1,2,?1?，问?和?满足何关系时，可使?a??b与z轴垂直？

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§8.3曲面及其方程

一、 二、

一动点与两定点?1,2,3?和?3,0,7?等距离，求这动点的轨迹方程． 方程x2?y2?z2?2x?4y?6z?0表示什么曲面？

22三、 将xoz平面上的双曲线4x?9z?36分别绕x轴及z轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方

程．

四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？

x?4 1.y?2； 2.3x2?2y2?6．

五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？

1.x2?2y2?2z2?；6 2.?z?a??x2?y2．

六、

22指出下列方程所表示的曲面：

22222x2y2z??． 1.； 2.x?y?3z?3； 3.x?2y?z?2345

苏州大学理工类高等数学(课次练习) 班级 学号 姓名 3

§8.4空间曲线及其方程 §8.5平面及其方程(1)

一、填空题：

z2?0与平面z?3的交线圆的方程是 ，其圆心坐标是 ，1．曲面x?y?922圆的半径为 ．

?x2?y2?1?2．曲线?2在yoz面上的投影曲线为 ． 22??x?(y?1)?(z?1)?13．螺旋线x?acos?,y?asin?,z?b?在yoz面上的投影曲线为 ．

4．上半锥面z?

二、选择题：

x2?y2（0?z?1）在xoy面上的投影为 ，在xoz面上的投影

为 ，在yoz面上的投影为 ．

?x2y2?1??1．方程?4在空间解析几何中表示 ． 9?y?z?（Ａ）、椭圆柱面 （Ｂ）、椭圆曲线 （Ｃ）、两个平行平面 （Ｄ）、两条平行直线

?x?acos??2．参数方程?y?asin?的一般方程是 ．

?z?b??z?x?acos?zz?b222（Ａ）、x?y?a (B)、x?acos (C)、y?asin (D)、?

bb?y?asinz?b?3．平面x?2z?0的位置是 ． （Ａ）、平行xoz坐标面。 （Ｂ）、平行oy轴 （Ｃ）、垂直于oy轴 （Ｄ）、通过oy轴

4．下列平面中通过坐标原点的平面是 ． （Ａ）、x?1 (Ｂ)、x?2y?3z?4?0 (C)、3(x?1)?y?(z?3)?0 (D)、x?y?z?1

?x2?y2?z2?9三、化曲线?为参数方程．

?y?x苏州大学理工类高等数学(课次练习) 班级 学号 姓名 4

四、画出下列曲线在第一卦限内的图形：

?x?1１．?； ２.

?y?2222??x?y?a． ?222??x?z?a

五、求通过三点(1,1,1)、(?2,?2,2)和(1,?1,2)的平面方程．