(word完整版)人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何练习题及答案

1.A 2.D 3.B 4.16

5. （1）建系如图，则A（0，0，0） B（0，a，0） A1（0，0，2a)，C1（-

3aa，,2a) 22(2)解法一：在所建的坐标系中，取A1B1的中点M， 于是M（0，则有

a，连结AM，MC1 ,2a）

2uuuuruuuruuur3MC1?(?a,0,0) AB?(0,a,0)，AA1?(0,02a)，

2uuuuruuuruuuuruuur∴MC1?AB?0，MC1?AA1?0，

所以，MC1⊥平面ABB1A1.

因此，AC1与AM所成的角就是AC1与侧面ABB1A1所成的角.

uuuuruuuur3aaa,,2a)，AM?(0,,2a)， ? AC1?(?222uuuuruuuur9a2uuuuruuuur3?AC1?AM?，而||AC1|?3a,|AM|?a，

42uuuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuuurAC1?AM3ruuuur?由cos=uuuu，? =30°. |AC1||AM|2∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.

3.2立体几何中的向量方法 新 课 标 第 一网

1.A 2.C 3.

（1）如右图，取AB的中点E，则DE//BC，因为BC?AC， 所以DE?AC，又A1D?平面ABC， 以DE,DC,DA1为x,y,z轴建立空间坐标系， 则A?0,?1,0?，C?0,1,0?，B?2,1,0?，

A1?0,0,t?，C1?0,2,t?，

uuuuruuurAC1??0,3,t?，BA1???2,?1,t?，

uuuruuuruuurAC?CB， CB??2,0,0?，由AC1?CB?0，知1又BA1?AC1，从而AC1?平面A1BC.

uuuuruuur2t?3. （2）由AC1?BA1??3?t?0，得

uuurruuur设平面A1AB的法向量为n??x,y,z?，AA1?0,1,3，AB??2,2,0?，所以

??ruuurr??n?AA1?y?3z?0，设z?1，则n?3,?3,1， r?ruuu??n?AB?2x?2y?0uuuurrAC1?n221所以点C1到平面A1AB的距离d?. ?r7nuuururuuurABC（3）再设平面1的法向量为m??x,y,z?，CA1?0,?1,3，CB??2,0,0?，

????所以

??u?mr?uCAuur?ur1u?uur?y?3z?0，设z?1，则umr??0,3,1?， ?m?CB?2x?0故cos?umr,rurrn??um?n7mr?rn??7，根据法向量的方向， 可知二面角A?A71B?C的余弦值大小为7. 4.（1）Q三棱柱ABC?A1B1C1为直三棱柱，

?AB?AA1，AC?AA1，

Rt?ABC，AB?1,AC?3,?ABC?60?，

由正弦定理?ACB?300.

??BAC?900即AB?AC .

如右图，建立空间直角坐标系，

则 A(0,0,0),B(1,0,0)C(0,3,0),A1(0,0,3)

?uABuuv?(1,0,0),uACuuv1?(0,3,3)， QuABuuv?uACuuv1?1?0?0?3?0?(?3)?0， ?AB?A1C.

(2) 如图可取m?uABuuv?(1,0,0)为平面AA1C的法向量，

设平面A1BC的法向量为n?(l,m,n)，

则uBCuuv?n?0,uACuuvuuuv1?n?0,又BC?（?1，3，0）， ???l?3m?0???l?3m,n?m. ??3m?3n?0不妨取m?1,则n?(3,1,1)，

cos?m,n??m?n3?1?1?0?1?015??.

222222m?n5(3)?1?1?1?0?0?二面角A?AC?BD的大小为arccos115. 55. （1）连结BD，设AC交于BD于O，

_ S由题意知SO?平面ABCD.以O为坐标原点，

_ FOB，OC，OS分别为x轴、y轴、z轴正方向，

建立坐标系O?xyz如右图.

_ B_ A_ DO _ C设底面边长为a，则高SO?6622a.于是 S(0,0,a),D(?a,0,0)，C(0,a,0) ，2222OC?(0,226a,0)，SD?(?a,0,?a)，OC?SD?0 ，故OC?SD.从而 AC?SD. 22226a,0,a)，平面DAC的一个法向量22 (2)由题设知，平面PAC的一个法向量DS?(uuur6aOS?DS3OS?（0，0，）?，设所求二面角为?，则cos??，得所求二面角的大小为30°.

22OSDS（3）在棱SC上存在一点E使BE//平面PAC.由（2）知DS是平面PAC的一个法向量，且

DS?（2626a,0,a),CS?(0,?a,a). 2222226a,a(1?t),at)，而 222设CE?tCS, 则BE?BC?CE?BC?tCS?(?1BE?DC?0?t?.即当SE:EC?2:1时，BE?DS.而BE不在平面PAC内，故BE//平面PAC.

3作 者 于华东 责任编辑 庞保军