第四章 周期运动带答案

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B 角速度与线速度的关系

一、学习要求

在学习线速度、角速度的基础上，进一步理解周期、转速也可以描述圆周运动的快慢。理解周期、转速的意义及单位，理解线速度、角速度、周期、转速之间的关系，会用相应的关系式，如v＝ωr，T2π2πrv1＝ ＝ ，n＝ ＝ 等进行计算。通过对“自行车中的圆周运动”的探究活动，感受科学探ωv 2πrT

究的基本步骤，懂得合作的重要性。

二、要点辨析

1．描述圆周运动快慢的物理量之间的关系

描述圆周运动快慢有四个物理量，它们是角速度ω、周期T、转速和线速度v。其中，角速度、周期、转速三个物理量既可以描述物体的转动快慢，又可以描述质点的圆周运动快慢，而线速度通常只能描述质点做圆周运动的快慢，不能描述物体转动的快慢。这些物理量的关系是

v＝ωr，

2π2πrT＝ ＝ ，

ωvvω1n＝ ＝ ＝ 。

2πr 2πT

2．区分匀速圆周运动中的变量、不变量和常量

在众多的物理量中我们要善于区别哪些是变量，哪些是不变量，哪些是常量，这对我们分析和解决

物理问题是至关重要的。由于物质世界在不断变化和运动，所以反映物质世界特征的大多数物理量都是随时间和空间而变化的，也就是说大多数物理量都是变量。但是在一定条件下，或者根据研究问题的需要，我们可以假定某些量不变，在这个研究过程中这些量就成为不变量。例如，在研究圆周运动时，如果要考察半径r不变时，角速度ω与线速度v的关系，那么半径r就是不变量，角速度ω与线速度v就是变量。如果要考察一个物体转动时其上各点的线速度v与半径r的关系，那么角速度ω就是不变量，线速度v与半径r就是变量。再如，一般情况下，重力加速度g可以认为是一个不变量，甚至可以取值g＝10m/s2；但当我们要研究重力加速度与高度和纬度的关系时，重力加速度g就是一个变化量。所谓“控制变量法”，就是创造条件，使某些物理量保持不变，再来研究其他变量关系的方法。在任何情况下都保持不变的少数的物理量被叫做物理常量或物理常数，如真空中的光速c、电子电荷量e等。

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3．注意公式v＝ωr中各量比例关系成立的条件

在高中物理中经常要用到物理量之间的比例关系，但要注意比例关系成立的条件。例如在公式v＝ωr中，我们说v与ω成正比，或v与r成正比，或ω与r成反比都是有条件的。v与ω成正比要求r保持不变，即半径相同时角速度与线速度成正比；v与r成正比就要求ω保持不变，同一物体转动或不同物体以相同角速度转动都符合这个条件；ω与r成反比要求线速度保持不变，录音磁带走带时就要满足这个条件。如果没有任何条件，则公式v＝ωr中，三个量都在变化，就不存在正比或反比关系。所以，分析物理问题时一定要考虑条件。

三、例题分析

【例1】单缸发动机的飞轮每分转2400转，求： （1）飞轮转动的周期与角速度。

（2）若飞轮上某点离轴线的距离r为0.2m，则该点的线速度是多少？

2400

【解答】（1）由于飞轮每分转2400转，转速n＝ r/s＝40r/s，所以周期

60

11

T＝ ＝ s＝0.025s，

n40

而每转一周就是转过2π rad，因此飞轮转动的角速度

2πω＝ ＝2πn＝2π×40rad/s≈251rad/s。

T

（2）已知r＝0.2m，因此该点的线速度 v＝ωr＝251×0.2m/s＝50.2m/s。

【例2】地球可看成是半径为6400 km的球体，北京的地理纬度大约是北纬40°（图4－5），则在北京地面上的物体随地球自转的线速度是多少？角速度是多少？（已知cos40°＝0.766）

【分析】地球绕地轴自转，地球上的物体随之做圆周运动，这些物体做圆周运动的角速度相同，但由于纬度不同，圆周运动的半径也不同，赤道处的半径最大，两极处半径为零。轨道半径r和地球半径R的关系为r＝Rcosθ，式中θ就是纬度，题中北京的纬度是40°。

【解答】地球自转的周期T＝24×3600s=86400s， 地球自转的角速度

2π2×3.14ω＝＝rad/s≈7.2×10-5rad/s，

T86400

北京地面物体的线速度

v＝ωr＝ωRcosθ＝7.2×10-5×6400×1000×0.766m/s≈353m/s。

【例3】如图4－6所示，O1、O2两轮依靠摩擦传动而不打滑，O1轮的半径是O2轮的2倍。A、B分别为大、小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点。试分别讨论A、B、C三点的角速度、线速度的关系。

【分析】在研究物理量之间的关系时，先要抓住哪些量是相同的，哪些量

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是不同的，再比较不同量的大小。

【解答】图4－6中O1、O2两轮依靠摩擦传动而不打滑，就告诉我们两轮边缘上相互接触的两点，线速度一定相等，否则两轮就要打滑，由此推得A点和B点及轮缘上所有点的线速度相等，这与皮带传动、齿轮传动的情形有些类似。而C点的半径等于A点半径的一半，C点和A点在同一物体上，角速度应该相同，所以C点的线速度等于A点线速度的一半。再因B点的半径是A点半径的一半，而两者线速度相同，由v＝ωr可得B点的角速度等于A点角速度的2倍。总结以上讨论可得所求关系

vA＝vB＝2vC，

ωB＝2ωA＝2ωC。

四、基本训练 A组

1．关于两个做匀速圆周运动的质点，正确的说法是（ ） （A）角速度大的线速度一定大

（B）角速度相等，线速度一定也相等 （C）半径大的线速度一定大 （D）周期相等，角速度一定相等

2．在半径为15m的圆形杂技场进行马术表演时，马沿着场地边缘奔跑，把马的运动看成是匀速圆周运动，马的线速度是8m/s，求马的运动周期、转速和角速度。

3．砂轮机在磨削金属时，砂轮和金属的碎屑因摩擦产生的高温形成火星，你注意到火星沿什么方向飞行？如果砂轮的半径是10cm，转速是1080r/min，火星刚飞出时的速度是多少？砂轮上半径为5cm处质点的角速度是多少？

4．在一个匀速转动物体上，轴线外的各点都在做______运动，描述各点运动快慢的物理量中相同的是_____________，可能不同的是____________，只有____相同的各点，描述运动快慢的物理量大小才相同。

5．若全自动洗衣机脱水时桶的转速为1200r/min，桶的半径为20cm，则桶壁任一点的角速度为_____rad/s，线速度为_____m/s。

6．传动机构就是传递运动、动力和能量的机构，机械传动的主要方式有齿轮传动、链传动、皮带传动，前两种传动依靠齿与齿、齿与链的啮合推力，后一种则依赖于摩擦力。图4—7表示传动的原理和应用，请观察图片，举出三种传动方式的其他实例。

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图4-7

7．如图4—8所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点。左轮是一个轮轴，轮半径为4r，轴半径为2r，b点在轴上，到轴心的距离为r，c点和d点分别在轴和轮的边缘。若在传动过程中皮带不打滑，则正确结论是（ ）。 （A）a点与b点的线速度大小相等 （B）a点与b点的角速度大小相等 （C）a点与c点的线速度大小相等 （D）a点与d点的角速度大小相等

8．三个在地球表面静止的物体A、B、C分别放在北京、上海和广州，则它们角速度ωA、ωB、ωC三者的大小关系是______，线速度vA、vB、vC三者的大小关系是______，周期TA、TB、TC三者的大小关系是________。

B组

9．如图4—9所示，有一个偏心轮绕O点匀角速转动，O点不在圆心，试找出偏心轮上： （1）位于轮缘线速度最大的点。 （2）位于轮缘线速度最小的点。 （3）线速度大小相同的点。 （4）角速度相同的点。

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