定积分与不定积分

解：Q1?x1?x?令x?sint,t?，则dx?costdt。 ?，221?x1?x??1?x1?x1?sintdx??dx??costdt??(1?sint)dt?t?cost?C21?xcost 1?x?arcsinx?1?x2?C.★★★9、设不定积分I1??1?xxdx，若，则有(D)。 u?xexx(1?xe)x思路：u=xe，提示我们将被积函数的分子分母同乘以e后再积分。

x1?xex(1?x)解：QI1??dx??xdx

x(1?xex)ex(1?xex)又Qdu?(ex?xex)dx?ex(1?x)dx;

?I1??du?I2,选(D)。

u(1?u)10、求下列不定积分:

知识点：求无理函数的不定积分的综合考察。

思路分析：基本思路——将被积函数化为有理式。

★★★★(1)、

?xdx1?x4.

思路：先进行倒代换，在进行三角换元 。 解：令x?11，则dx??2dt。 tt4??dxx1?x??1t1dt2(?2dt)???dt???421?t41t1?t1?4tt 令t2?tanu,0?u??2，则dt2?sec2udu。

1dt21sec2udu1???????????secudu21?t42secu2x1?x4

2111x??lnsecu?tanu?C??ln(1?t4?t2)?C?ln()?C2221?1?x4dx11?x4?1)?C ?ln(22x 49

★★★(2)、

?xx?12x?12dx.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。

2x?11?sect1?sect??dx??secttantdt?dt??(cost?1)dt2?22secttantsectxx?11x?1?t?sint?C?arccos??C?xx11注： (arccos)??(?arcsin)?

xx★★★(3)、

2解：令x?sect,0?t??，则dx?secttantdt,

x?11?arcsin?C.xx2?xx?221?x2dx.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。

2x?2sint?212??dx??2costdt??(?2)dt??csctdt?2?csc2tdtsintcostsintsintx21?x2?lncsct?cott?2cott?C?ln11?x21?x???C.xxx22解：令x?sint,0?t??，则dx ?costdt；

★★★★★(4)、

?(1?xdx2)1?x2.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令x?sint,0?t??2，则dx ?costdt；costdtdtdtsec2tdt??????????222222(1?sint)cost1?sintcost?2sint1?2tan2t(1?x)1?xdx?2d(2tant)222x?arctan(2tant)?C?arctan()?C.?2221?(2tant)221?x

★★★(5)、

?xdx4?x2.

思路：进行三角换元，化无理式为有理式。 解：令x?2sint,0?t??2，则dx?2costdt；

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