电磁场与电磁波第一章习题答案

第一章 习题解答

??????1.2给定三个矢量A，B，C：

???????????A=ax+2ay-3az ????????B= -4ay+az

????????C=5ax-2az

?????求：⑴矢量A的单位矢量aA；

????⑵矢量A和B的夹角?AB； ????????⑶A·B和A?B

????????????⑷A·（B?C）和（A?B）·C；

???????????? ⑸A?（B?C）和（A?B）?C

???????A?????????A解：⑴aA=?=（ax+2ay-3az）/14 ?=1?4?9A

⑵cos?

????=AB????????A·B/AB

?AB=135.5o

?????????????????⑶A·B=?11, A?B=?10ax?ay?4az ??????⑷A·（B?C）=?42

??????（A?B）·C=?42

???????????????⑸A?（B?C）=55ax?44ay?11az

???????????????（A?B）?C=2ax?40ay+5az

???????1.3有一个二维矢量场F(r)=ax（?y）+ay(x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图

形。

解：由dx/(?y)=dy/x,得x+y=c

1.6求数量场?=ln（x+y+z）通过点P（1，2，3）的等值面方程。

22222

解：等值面方程为ln（x+y2+z）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么x+y2+z=14

1.9求标量场?（x,y,z）=6xy3+e在点P（2，-1，0）的梯度。

2z2222??????????????????????z??232解：由??=ax+ay+az=12xyax+18xyay+eaz得

?x?z?y

???????????=?24ax+72ay+az

21.10 在圆柱体x+y2=9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S:

??⑴求矢量场A沿闭合曲面S的通量，其中矢量场的表达式为

?????2??????A=ax3x+ay（3y+z）+az(3z?x)

?????A?dS+

??解：⑴?A?ds=

⑵验证散度定理。

曲曲????232?A?dS=?(3?cos??3?sin??zsin?)d?d?=156.4

xoz?????A?dS+

yoz?????????????A?dS+?A?dS+?A?dS

上下xoz?????A?dS=

曲yoz?????A?dS=?xoz?(3y?z)dxdz=?6

yoz?3x2dydz=0

????????27A?dSA?dS(6??cos?)?d?d??cos?d?d?? +=+=????2上下上下???A?ds=193

?⑵???AdV=?(6?6x)dV=6?(?cos??1)d?d?dz=193

VVV

???即：?A?ds=???AdV

sV??????????22221.13 求矢量A=axx+ayxy沿圆周x+y=a的线积分，再求??A对此圆周所包围的表

面积分，验证斯托克斯定理。

???42a 解：?A?dl=?=xdx?xydy?l4L

?????2??A=azy

???4222?ydS?sin?d?d???A?dsa ===?????S4SSlS????即：?A?dl=???A?ds，得证。

1.15求下列标量场的梯度：

⑴u=xyz+x

2????u????u????????u??????u=ax+ay+a=ax(yz+zx)+ayxz+azxy

?x?yz?z2

⑵u=4xy+y2z?4xz

????u????u??????2??u?????2?u=ax+ay+az=ax(8xy-4z)+ay(4x+2yz)+az(y?4x)

?x?z?y

????u????u????????u?????⑶?u=ax+ay+a=ax3x+ay5z+az5y

?x?yz?z1.16 求下列矢量场在给定点的散度

??Ax?Ay?Az22⑴??A=++=3x+3y+3|(1,0,?1)=6

?x?y?z?⑵??A=2xy+z+6z|(1,1,0)=2

1.17求下列矢量场的旋度。

???⑴??A=0

????????????⑵??A=ax（x?x）+ay（y?y）+az（z?z）=0

1.19 已知直角坐标系中的点P(x,y,z)和点Q(x’,y’,z’),求：

???⑴P的位置矢量r和Q点的位置矢量r'；

??⑵从Q点到P点的距离矢量R；

??⑶??r和??r；

⑷?()。

??????????解：⑴r=axx+ayy+azz;

1R

???????????'r=axx’+ayy’+azz’

?????'?????????⑵R=r?r=ax（x?x’）+ay（y?y’）+az（z?z’）

???⑶??r=0, ??r=3

⑷

11 ?222R(x?x')?(y?y')?(z?z')

????????1????1

?()=(ax+ay+az) R?zR?x?y??? =?ax??? =?ax =?

1R3??R =?3

R12(x?x')12(y?y')12(z?z')??????2R2R2R ??aazy222RRR?z?z'?y?y'??x?x'?? ?ay?azR3R3R3?????????[ax（x?x’）+ay（y?y’）+az（z?z’）]

??1R即：?()=?3RR