2010概率论教案（一）

例2 一盒子装有4只产品, 其中有3只一等品, 1只二等品, 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为\第一次取到的是一等品\事件B为\第二次取到的是一等品\试求条件概率P(B|A).

解 易知此属古典概型问题. 将产品编号, 1,2,3号为一等品; 4号为二等品. 以(i,j)表示第一次, 第二次分别取到第i号,第j号产品. 试验E(取产品两次, 记录其号码)的样本空间为

S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),...,(4,1), (4,2), (4,3)}, 共12个基本事件组成, A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4)}, 共9个基本事件组成, AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}. 共6个基本事件组成.

P(AB)6/122??.按(5.2)式, 得条件概率 P(B|A)?P(A)9/123

也可以直接按条件概率的含义来求P(B|A). 我们知道, 当A发生以后, 试验E所有可能结果的集合就是A, A中有9个元素, 其中只有(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)属于B, 故可得

62 P(B|A)??.93

（二）乘法定理

由条件概率的定义(5.2)可得

乘法定理 设P(A)>0, 则有 P(AB)=P(A)P(B|A) (5.3)

上式容易推广到多个事件的积事件的情况. 例如, 设A,B,C为事件, 且P(AB)>0, 则有

P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) (5.4)

一般地, 设A1,A2,...,An为n个事件, n?2, 且P(A1A2...An1)>0, 则有 P(A1A2...An)=P(A1)P(A2|A1)...

P(An1|A1A2...An2)P(An|A1A2...An1) (5.5)

例3 设袋中装有r只红球, t只白球. 每次自袋中任取一只球, 观察其颜色后放

回, 并再放入a只与所取出的那只球同色的球. 若在袋中连续取球四次, 试求第一,二次取到红球且第三,四次取到白球的概率. 解 以Ai(i=1,2,3,4)表示事件\第i次取到红球\ P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2|A1)

P(A3|A1A2)P(A4|A1A2A3)

rr?att?a ????r?tr?t?ar?t?2ar?t?3a

例4 某种透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2, 若第一次落下来未打破, 第二次落下打破的概率为7/10, 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10. 试求透镜落下三次而未打破的概率.

解 以Ai(i=1,2,3)表示事件\透镜第i次落下打破\以B表示事件\透镜落下三次而

P(B)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)7??9?3?1????1???1???1???.?2??10??10?200未打破, 则

3.2 全概率公式和贝叶斯公式

（一）定义

设S为试验E的样本空间, B1,B2,...,Bn为E的一组事件, 若 (1) BiBj=?, i?j, i,j=1,2,...,n; (2) B1?B2?...?Bn=S,

则称B1,B2,...,Bn为样本空间的一个划分.

若B1,B2,...,Bn是样本空间的一个划分, 那么,对于每次试验, 事件B1,B2,...,Bn中必有一个且仅有一个发生. 划分的图示

（二）全概率公式

定理 设试验E的样本空间为S, A为E的事件, B1,B2,...,Bn为S的一个划分, 且P(Bi)>0(i=1,2,...,n), 则 P(A)?P(A|B1)P(B1)?P(A|B2)P(B2)?

??P(A|Bn)P(Bn)

n

?P(A|Bj)P(Bj)(5.6)

j?1

(5.6)式称为全概率公式.

?证 因为

A=AS=A(B1?B2?...?Bn)=AB1?AB2?...?ABn, 由假设P(Bi)>0(i=1,2,...,n),且(ABi)(ABj)=?,i?j, i,j=1,2,...,n得到

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+...+P(ABn)

=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...

+P(A|Bn)P(Bn).

（三）贝叶斯公式

定理 设试验E的样本空间为S. A为E的事件, B1,B2,...,Bn为S的一个划分, 且P(A)>0, P(Bi)>0 (i=1,2,...,n), 则下面的贝叶斯公式成立:

P(A|Bi)P(Bi) P(Bi|A)?n,i?1,2,?.n.(5.7)

P(A|Bj)P(Bj)

j?1证 由条件概率的定义及全概率公式得

P(ABi)P(A|Bi)P(Bi)P(Bi|A)??n,i?1,2,?,n

P(A)P(A|Bj)P(Bj) ?j?1

特别在(5.6), (5.7)中取n=2, 并将B1记为B,此时 B2就是B,那么,全概率公式和贝叶斯公式分别 成为

P(A)?P(A|B)P(B)?P(A|B)P(B),(5.8)

P(A|B)P(B) P(B|A)?(5.9)P(A|B)P(B)?P(A|B)P(B)

这两个公式是常用的.

例5 某电子设备厂所用元件由三家元件厂供给, 根据以往纪录有以下数据: ?元件制造厂 1 2 3 次品率 0.02 0.01 0.03 提供元件的份额 0.15 0.80 0.05 解 设A表示\取到次品\Bi表示\产品来自第i家厂\则B1,B2,B3构成划分, P(B1)=0.15, P(B2)=0.8, P(B3)=0.05, P(A|B1)=0.02, P(A|B2)=0.01, P(A|B3)=0.03. (1)由全概率公式

P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3) =0.0125. (2)由贝叶斯公式 P(A|B1)P(B1)0.02?0.15P(B1|A)???0.24 P(A)0.0125 P(B2|A)?0.64,P(B3|A)?0.12

例6 对以往数据分析结果表明, 当机器调整得良好时, 产品的合格率为98%, 而当机器发生某种故障时, 其合格率为55%. 每天早上调整良好的概率为95％. 试求已知某日早上第一件产品是合格品时, 机器调整良好的概率是多少? 解 设A为事件\产品合格\B为\机器调整良好\ P(A|B)?0.98,P(A|B)?0.55,P(B)?0.95, P(B)?0.05,所需求概率为P(B|A).由贝叶斯公式 P(A|B)P(B)P(B|A)??0.97

P(A|B)P(B)?P(A|B)P(B)

这就是说, 当生产出第一件产品是合格品时, 此时机器调整良好的概率为0.97. 这里, 概率0.95是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率. 而在得到信息(即生产出第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做后验概率. 有了后验概率我们就能对机器的情况有进一步的了解.

例7 某种症断癌症的试验有如下效果: 若以A表示事件\试验反应为阳性\以C表示事件\被论断者有癌症\则有P(A|C)=0.95,

P(A|C)?0.95, 设被试人患有癌症的概率为0.005, 即P(C)=0.005, 试求

P(C|A).

解 已知P(A|C)=0.95,P(A|C)?1?P(A|C)?0.05

P(C)?0.005,P(C)?0.995, 由贝叶斯公式

P(A|C)P(C)P(C|A)??0.087

P(A|C)P(C)?P(A|C)P(C)

本题结果表明, 虽然 P(A|C)?0.95,P(A|C)?0.95这两个概率都比较高, 但若将此试验用于普查, 则有P(C|A)=0.087, 亦即其正确性只有8.7%(平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患有癌症), 如果不注意到这一点, 将会得出错误的诊断, 这也说明, 若将P(A|C)和P(C|A)混淆了会造成不良的后果.

§4 独立性

设A,B是试验E的两事件, 若P(A)>0, 可以定义P(B|A).

一般, A的发生对B发生的概率是有影响的, 这时P(B|A)?P(B)， 只有在这种影响不存在时才会有 P(B|A)=P(B), ？