2010概率论教案（一）

概率论与数理统计

主编：韩旭里，谢永钦

复旦大学出版社

第一章 概率论的基本概念

引言：自然现象分两类：1 确定性现象. 2 随机现象.

1 在一定条件下必然发生的现象,称为确定性现象. ——特点：在相同的条件下，重复进行实验或观察，它的结果总是确定不变的。

2 在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而试验或观察前，不能预知确切的结果。称为随机现象. ——特点： 即在相同的条件下，重复进行观测或试验，它的结果未必是相同的。虽然在个别试验中，其结果呈现出不确定性，但是人们经过长期实践并深入研究之后，发现在大量重复试验或观察下，这类现象的结果呈现出某种规律性

—— 这种在大量重复试验或观察中，所呈现出的固有规律性称之为统计规律性

概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科. 概率论的有关应用：概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律， 概率论的应用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、 地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等. 总之: 概率论与数理统计在自然科学和社会科学的很多领域都具有非常广泛的应用. 我对此不再展开介绍了.

§1 样本空间、随机事件

1.1随机试验（E）

试验的特点:

1,可在相同条件下重复地进行;

2,每次试验的可能结果不止一个, 并且能事先明确所有可能的结果. 3,进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

试验的例:

E1:抛一枚硬币, 观察正面H, 反面T出现的现象.

E2:将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况. E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数. E4:抛一颗骰子, 观察出现的点数.

E5:记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数. E6:在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命. E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.

1.2 样本空间、随机事件 (一)样本空间

对于随机试验, 尽管在每次试验之前不能预知试验的结果, 但试验的所有可能的结果组成的集合是已知的, 将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的

样本空间, 记为Ω={ω1，ω2，ω3，… }. 样本空间的元素ω1，ω2，ω3，…, 即E的每个基本结果, 称为样本点. 例:

E1:抛一枚硬币, 观察正面H, 反面T出现的现象. Ω1: {H,T}

E2:将一枚硬币掷三次, 观察正面H, 反面T出现的情况. Ω2: {HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}; E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数. Ω3: {0,1,2,3};

E4:抛一颗骰子, 观察出现的点数. Ω4:{1,2,3,4,5,6};

E5:记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数. Ω5:{0,1,2,3,...};

E6:在一批灯泡中任取一只, 测试它的寿命. Ω6:{t|t?0}

E7:记录某地一昼夜的最高温度和最低温度.

Ω7: {(x,y)|T0?x?y?T1}, 这里x表示最低温度, y表示最高温度. 并设这一地区的温度不会小于T0, 也不会大于T1.

(二) 随机事件

称试验E的样本空间S的子集为E的随机事件,

简称事件. 在每次试验中,

当且仅当这一子集中的一个样本点出现时, 称这一事件发生.

特别, 由一个样本点组成的单点集, 称为基本事件. 例如, 掷一次硬币的实验E1有两个基本事件{H}和{T}; 掷一次骰子的实验E4有6个基本事件

{1},{2},{3},{4},{5},{6}.

样本空间S包含所有的样本点, 它是S自身的子集, 在每次试验中它总是发生的, 称为必然事件, 空集? 不包含任何样本点, 它也作为样本空间的子集, 它在每次试验中都不发生, 称为不可能事件.?

几个事件的例子:

例1: 在E2:掷三次硬币观察正反面出现情况中事件A1:\第一次出现的是H\即 A1={HHH,HHT,HTH,HTT}. 事件A2:\三次出现同一面\即 A2={HHH, TTT}

在E6:测试任取的一只灯泡寿命中, 事件A3:\寿命小于1000小时\即 A3={t|0?t<1000}

(三) 事件间的关系与事件的运算 事件是一个集合, 因而事件间的

关系与事件的运算按照集合论中集合间的关系和集合运算来处理. 下面给出这些关系和运算在概率论中的提法. 并根据\事件发生\的含义, 给出它们在概率论中的含义.

设试验E的样本空间为S, 而A,B,Ak(k=1,2,...)是S的子集. 通常喜欢用一个矩形来代表S, 其中的子区域代表一个事件.

1, 若A?B, 则称事件B包含事件A, 这是指的事件A发生必然导致事件B发生. 若A?B且B?A, 即A=B, 则称事件A与事件B相等.

2,事件A?B={x|x?A或x?B}称为事件A与事件B的和事件. 当且仅当A, B中至少有一个发生时, 事件A?B发生.

3,事件A?B={x|x?A且x?B}称为事件A与事件B的积事件. 当且仅当A, B同时发生时, 事件A?B发生. A?B也记作AB

4,事件AB={x|x?A且x?B}称为事件A与事件B的差事件, 当且仅当A发生, B不发生时事件A--B发生.

5. 若A?B=?, 则称事件A与事件B是互不相容的, 或互斥的, 这指的是事件A与事件B不能同时发生, 基本事件是两两互不相容的.

6, 若A?B=S且A?B=?, 则称事件A与事件B互为逆事件, 又称事件A与事件B互为对立事件, 这指的是对每次试验而言, 事件A,B中必有一个发生, 且仅有一个发生. A的对立事件记为A, A?S?A.

在进行事件运算时, 经常要用到下述定律. 设A,B,C为事件, 则有 交换律: A?B=B?A; A?B=B?A. 结合律: A?(B?C)=(A?B)?C;

A?B?A?B;A?B?A?B. A?(B?C)=(A?B)?C. 分配律: A?(B?C)=(A?B)?(A?C);

A?(B?C)=(A?B)?(A?C);（可推广到有穷或可数无穷情形） 德?摩根律:

例2 试验为掷三次硬币, 事件A1:\第一次出现的是H\事件A2:\三次出现同一面\

A1={HHH,HHT,HTH,HTT}, A2={HHH,TTT},

A1?A2={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT}, A1?A2={HHH}, A2-A1={TTT},

§2概率、古典概型

2.1频率，概率

(一) 频率 1）定义 在相同条件下, 进行了n次试验, 在这n次试验中, 事件A发生的次数k称为事件A发生的频数. 比值k/n称为事件A发生的频率, 并记成fn(A). 2） 频率基本性质: 1, 0?fn(A)?1; 2, fn(S)=1;

3, 若A1,A2,...,Ak是两两互不相容的事件, 则 fn(A1?A2?...?Ak)=fn(A1)+fn(A2)+...+fn(An).

事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，fn(A).大，事件发生越频繁，在试验中，发生可能性就大 2） 频率基本性质:

3） 历史上的掷硬币试验 试验者 抛掷次数 n 正面出现次数m 正面出现频率m/n 德.摩尔根 蒲丰 2048 4040 1061 2048 0.518 0.5069