2014届高考数学创优导学案8-4

(对应学生用书P275 解析为教师用书独有)

(时间：45分钟 满分：100分)

一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分) 1．(2012·重庆高考)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是

A．相离

C．相交但直线不过圆心

B．相切

D．相交且直线过圆心

( )

解析 C 直线y＝kx＋1过定点(0,1)，而02＋12<2，所以点(0,1)在圆x2＋y2＝2内部，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2相交且直线不经过圆心，故选C.

2．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程是

A．(x－4)2＋(y－6)2＝6 B．(x±4)2＋(y－6)2＝6 C．(x－4)2＋(y－6)2＝36 D．(x±4)2＋(y－6)2＝36

解析 D 依题意，设圆心为(x,6)，由两圆内切，得 ?x－0?2＋?6－3?2＝6－1，∴x＝±4， ∴圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.

3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0截得的弦长为( ) A.3 C.6

B．2 D．23

( )

解析 D 圆心坐标为(0,2)，直线方程为y＝3x，作出草图，数形结合，构造直角三角形，圆心在y轴，直径为4，所求弦长过原点且与x轴所成的角为60°?弦长＝4cos 30°＝23.

4．两圆x2＋y2＝m与x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是

( )

A．m<1 C．m>121

B．1≤m≤121 D．1

解析 B 若两圆有公共点，则两圆的位置关系为相切或相交，将m＝1代入验证符合题意，故选B.

5．已知圆O的方程是x2＋y2－8x－2y＋10＝0，则过点M(3,0)的最短弦所在的直线方程是

A．x＋y－3＝0 C．2x－y－6＝0

B．x－y－3＝0 D．2x＋y－6＝0

( )

解析 A 圆O的方程化为标准形式为(x－4)2＋(y－1)2＝7，圆心O(4,1)，设过点M(3,0)的最短弦所在的直线为l，∵kOM＝1，∴kl＝－1，∴l的方程为y＝－1·(x－3)，即x＋y－3＝0.

6．已知点P(a，b)(ab≠0)是圆x2＋y2＝r2内的一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，直线l的方程为ax＋by＝r2，那么

A．m∥l，且l与圆相交 B．m⊥l，且l与圆相切 C．m∥l，且l与圆相离 D．m⊥l，且l与圆相离

a

解析 C 直线m的方程为y－b＝－b(x－a)，

即ax＋by－a2－b2＝0，∵P在圆内，∴a2＋b2

∵圆心到直线l的距离d＝2>r，∴直线l与圆相离．

a＋b2二、填空题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)

7．(2013·西安二检)已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1,2)，则过点A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．

解析 ∵点A(1,2)在圆x2＋y2＝5上，∴过点A与圆O相切的切线方程为x5

＋2y＝5，易知切线在坐标轴上的截距分别为5，2，所以切线与坐标轴围成的三25

角形的面积为4.

8．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，

( )

且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．

解析 由题知O1(0,0)，O2(m,0)，且5<|m|<35，又O1A⊥AO2，所以有m211|AB|

＝(5)＋(25)＝25?m＝±5，又S△AO1O2＝2|O1A||O2A|＝2|O1O2|·2，所以|AB|

2

2

2|O1A||O2A|＝|OO|＝4.

12

【答案】 4

9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2＋y2＝4上有且只有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，则实数c的取值范围是________．

解析 因为圆的半径为2，且圆上有且仅有四个点到直线12x－5y＋c＝0的距离为1，即要圆心到直线的距离小于1，即

【答案】 (－13,13)

三、解答题(本大题共3小题，共40分)

10．(12分)若直线y＝kx＋1与x2＋y2＋kx＋my－4＝0交于M，N两点，并且M，N关于直线x＋y＝0对称，求m的值．

解析 根据题意，可知直线y＝kx＋1与直线x＋y＝0垂直，∴k＝1. m??k

∵圆心?－2，－2?在直线x＋y＝0上，

??km

则－2－2＝0，∴m＝－1.

11．(12分)已知直线l1：4x＋y＝0，直线l2：x＋y－1＝0以及l2上一点P(3，－2)．求圆心C在l1上且与直线l2相切于点P的圆的方程．

解析 设圆心为C(a，b)，半径为r，

依题意，得b＝－4a.又PC⊥l2，直线l2的斜率k2＝－1， －2－?－4a?

∴过P，C两点的直线的斜率kPC＝＝1，

3－a解得a＝1，b＝－4，r＝|PC|＝22. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

12．(16分)已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0. (1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点；

(2)设直线l与圆C交于A，B两点，若|AB|＝17，求直线l的倾斜角．

|c|

<1，解得－13

122＋?－5?2解析 (1)将已知直线l化为y－1＝m(x－1)． 故直线l恒过定点P(1,1)． 因为12＋?1－1?2＝1<5，

故点P(1,1)在已知圆C内，从而直线l与圆C总有两个不同的交点． (2)圆半径r＝5，圆心C到直线l的距离为 d＝3?|AB|?

r2－?2?2＝2，

??

|－m|3

＝，解得m＝±3，故直线的斜率222m＋?－1?

由点到直线的距离公式得

π2π

为±3，从而直线l的倾斜角为3或3.