勾股定理在中考中的几种新题型doc

勾股定理在中考中的几种新题型

一、逆向思考型 例1如图1，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）

（A）CD、EF、GH

（B）AB、EF、GH （D）AB、CD、EF

（C）AB、CD、GH

图1

解：在Rt△EAF中，AF=1，AE=2，根据勾股定理，得

EF?AE2?AF2?2?122?5

同理AB?22，GH?13，CD?25

计算发现(5)2?(22)2?(13)2，即AB2?EF2?GH2，根据勾股定理的逆定

理得到AB、EF、GH为边的三角形是直角三角形。故选（B）。

二、探索规律型 例2如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去?。

（1）记正方形ABCD的边长a1?1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a2，

a3，a4，?，an，求出a2，a3，a4的值。

（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长an的表达式。

图2

解：（1）因为四边形ABCD为正方形，图形中有多个等腰直角三角形 所以根据勾股定理AC?同理AE=2，EH?22

AB2?BC2?2

因为a1?1?(2)0，a2?(2)1，a3?2?(2)2，a4?22?(2)3 （2）根据以上规律，第n个正方形的边长an?(2)n?1（n?1）（n是自然数） 三、展面助解型

例3如图所示1为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示。已（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度？这样的线段可画几条？ （2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B'A'C'的大小关系？

知展开图中每个正方形的边长为1。

1

中

因为C'D'?1，A'D'?3 由勾股定理得：

A'C'?C'D'?A'D'22解：（1）在平面展开图中可画出最长的线为10。如图3－2中的A'C'，在Rt△A'C'D'?1?9?10

答：这样的线段可画4条（另三条用虚线标出）

2

（2）因为立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，所以∠BAC=45°。 在平面展开图3－3中，连接线段B'C'（如图3－4），由勾股定理可得： A'B'?5，B'C'?2252

又因为A'B'?B'C'?A'C'由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形 又因为A'B'?B'C'

所以△A'B'C'为等腰直角三角形 所以∠BAC与∠B'A'C'相等

所以∠B'A'C'?45?

四、观图解答型

在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2S3、S4，则S1?S2?S3?S4=_____________。

、

图4

解：S1代表面积为S1的正方形的边长的平方，S2代表面积为S2的正方形的边长的平

方，又S1?S2代表斜放置的正方形1的边长的平方和，故S1?S2=斜放置的正方形1的面积；同理S3?S4=斜放置的正方形3的面积；所以S1?S2?S3?S4?1?3。

五、折叠构造型 例5（2004年江苏省无锡市）如图5，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G。如果M为CD边的中点，

求证：DE：DM：EM=3：4：5。

图5

解：由折叠知，EM=EA，设CD=2a 所以DE?2a?EM，DM?a 在Rt△EDM中，EM2?DE?DM

22

所以EA2?(2a?EA)2?a2 解得EA?所以ED?5434a a

34a：a：54a?3：4：5。

所以DE：DM：EM?六、剪拼操作型

例6（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开。大会会标如图6

甲。它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13，每个直角三角形两条直角边的和是5，求中间小正方形的面积。

（2）现有一张长为6.5cm、宽为2cm的纸片，如图6乙，请你将它分割成6块，在拼合成一个正方形。

（要求：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并表明相应数据）

图6

解：（1）设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，则小正方形的边长为a?b。由题意得 ① a?b?5

由勾股定理，得a2?b2?13 ①2－②得2ab?12

所以(a?b)?a?b?2ab?13?12?1 即所求的中间小正方形的面积为1

（2）所拼成的正方形的面积为6.5?2?13(cm)，所以可按照图甲制作。 由③得a?b?1

由①、③组成方程组解得a?3，b?2

结合题意，每个直角三角形的较长的直角边只能在纸片6.5cm的长边上截取，去掉四个

12?3?2?4?13?12?1(cm)，恰好等于中间的小正

2②

222③

2直角三角形后，余下的面积为13?方形面积。于是，得到以下分割拼合方法：