高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标学案北师大版必修4

§4 平面向量的坐标

1．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．(重点) 2．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．(重点) 3．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．(重点)

[基础·初探]

教材整理1 平面向量的坐标表示

阅读教材P88～P89“4.2”以上部分，完成下列问题．

如图2－4－1所示，在平面直角坐标系xOy中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理可知有且只有一对有序实数(x，y)，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作

a＝(x，y)．

图2－4－1

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( ) (2)向量的坐标就是向量终点的坐标．( )

(3)在平面直角坐标系中，两相等向量的终点坐标一样．( ) 【解析】 (1)错误．无论向量在何位置其坐标不变．

(2)错误．向量的坐标是把向量的起点平移到原点时终点的坐标． (3)错误．两相等向量的坐标相等，与它们的终点无关． 【答案】 (1)× (2)× (3)×

教材整理2 平面向量的坐标运算及向量平行的坐标表示

1 / 9

阅读教材P89～P91“练习”以上部分，完成下列问题． 1．平面向量的坐标运算

(1)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)和实数λ，那么： ①a＋b＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)； ②a－b＝(x1，y1)－(x2，y2)＝(x1－x2，y1－y2)； ③λa＝λ(x1，y1)＝(λx1，λy1)．

→→→

(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O(0,0)，则AB＝OB－OA＝(x2，y2)－(x1，y1)＝(x2－

x1，y2－y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．

2．向量平行的坐标表示

(1)设a，b是非零向量，且a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a∥b，则存在实数λ，使

a＝λb，用坐标表示为x1y2－x2y1＝0.

x1x2

若y1≠0且y2≠0，则上式可变形为＝.

y1y2(2)文字语言描述向量平行的坐标表示

①定理 若两个向量(与坐标轴不平行)平行，则它们相应的坐标成比例． ②定理 若两个向量相对应的坐标成比例，则它们平行．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b?x1y2＝x2y1.( ) (2)向量a＝(1,2)与b＝(－3，－6)共线且同向．( ) x1x2

(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b，则＝.( )

y1y2【解析】 (1)正确．a∥b，则a＝λb可得x1y2＝x2y1. (2)错误．a＝－3b，a与b共线且反向． (3)错误．若y1＝0，y2＝0时表达式无意义． 【答案】 (1)√ (2)× (3)×

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________

2 / 9

解惑：___________________________________________________________

[小组合作型]

平面向量的坐标表示 已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，C在

→→→→

第一象限，D为AC的中点，分别求向量AB，AC，BC，BD的坐标．

【精彩点拨】 表示出各点的坐标→用终点坐标减去始点坐标→ 得相应向量的坐标 【自主解答】 如图，正三角形ABC的边长为2，则顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，

3??1

∴C(1，3)，D?，?，

?22?→→

∴AB＝(2,0)，AC＝(1，3)， →

BC＝(1－2，3－0)＝(－1，3)， →?13??33?BD＝?－2，－0?＝?－，?.

2?2??22?

1．向量的坐标等于终点的坐标减去始点的相应坐标，只有当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．

2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义进行计算．

[再练一题]

→→→

1．已知点O是△ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA＝a，OB＝b，OC＝

c，且|a|＝2，|b|＝1，|c|＝3，求向量AB，BC.

→→

3 / 9

→

【解】 如图所示，以点O为原点，OA所在射线为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系．

→

∵|OB|＝1，∠AOB＝150°， ∴B(－cos 30°，sin 30°)， 即B?－

??31?，?. 22?

→

∵|OC|＝3，

∴C(－3sin 30°，－3cos 30°)， 3??3

即C?－，－3?.

2??2又∵A(2,0)，

→?31?31??

∴AB＝?－，?－(2,0)＝?－－2，?，

2??22??23??→?331??3－3

BC＝?－，－3?－?－，?＝?2??22??2，?2

31

－3－?. 22??

向量坐标的线性运算 1→→1→→→

已知点A(－1,2)，B(2,8)及AC＝AB，DA＝－BA.求点C，D和CD的坐标.

33

【导学号：66470051】

→→→→→→

【精彩点拨】 先求出AB的坐标，然后求AC，DA的坐标，最后求出OC，OD及CD的坐标．

【自主解答】 ∵A(－1,2)，B(2,8)， →

∴AB＝(2,8)－(－1,2)＝(3,6)， →1→

AC＝AB＝(1,2)，

31→1→→

DA＝－BA＝AB＝(1,2)，

33

→→→

则OC＝OA＋AC＝(－1,2)＋(1,2)＝(0,4)， →→→→→

OD＝OA＋AD＝OA－DA＝(－1,2)－(1,2)＝(－2,0)，

4 / 9