排列组合2

排列组合 知识点归纳

1、分类计数（加法原则）：完成一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2 种不同的方法，?，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事方法共有：

m?m1?m2?m3?????mn

分步计数（乘法原则）：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2 种不同的方法，?，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事方法共有：

m?m1m2m3???mn

2、排列：从

n个不同元素中，任取m（m?n）个元素（这里的被取元素各不

相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

排列数公式： （ ）

组合：一般地，从n个不同元素中取出m?m?n?个元素并组成一组，叫做从n个

不同元素中取出m个元素的一个组合.

n!Anmn(n?1)(n?2)(n?m?1)mmC?组合数公式：或 C ??nnmm!(n?m)!Amm!

排列组合区别 ：讲不讲顺序 排列：讲顺序 组合：不讲顺序

两种途径：元素分析法，位置分析法

排列组合公式本来就是用元素位置法推导出来的

基本种类 一．特殊的

1、可重复与不可重复

不同元素，一个元素可以有多个位置.即元素可重复

用1到9这9个数字．可组成多少个没有重复数字的四位数？

用1到9这9个数字．可组成多少个四位数？

位置分析法

2、一个位置可以有多个元素与一个位置一个元素 把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

比较 把6名实习生分配到7个车间实习,一个车间最多一个，共有多少种不同的分法 元素分析法

一般除了排数字可以重复，其他的一般都不可以重复。

大部分是不同元素、不同位置，并且一个元素只在一个位置，标准的直接用公式，不标准的用元素位置法分析。

二、标准分配与分选 1、标准分配（讲顺序）

将3名教师分配到3种中学任教，每所中学1名教师，则不同的分配方案共有（ ）

分选(不讲顺序)

将4名教师中抽取3人组成一个志愿小组，不同的分选方案共有（ ）

比较 将4名教师中抽取3人去3个学校任教，不同的分选方案共有（ ）

2、不同数量的两种元素的分选

现有10名学生，其中男生6名，女生4名，现要从中选出男女生各2名去参加会议，有多少种不同的选法？

变式 现有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么有2个一等品的不同取法的种数是

三、分选+分配 分组+分配

将4名教师中抽取3人分别去4个不同的学校，不同的分选方案共有（ ）

把4名教师分成3组，分别去4个不同的学校，不同的分选方案共有（ ）

注意：分组时是不考虑顺序的，千万要除去重复的情况。

变式 把5名教师分成3组，分别去4个不同的学校，不同的分选方案共有（ ）

均匀分组 非均匀分组

把6名教师分成3组，分别去4个不同的学校，在下列情况下不同的分选方案共有（ ）1、分成3组，一组1人、一组2人、一组3人 2.分成3组，每组2人 3、分成3组，1,1，4, 4、分成4组，1,2,2,1

变式将5名教师分配到3种中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分配方案共有（ ）

四、分类+分选

现有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，若从这20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法的种数是

不同数量的两种元素的分类+分选

从3名骨科、4名脑外科医生中选派3人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科至少有1人的选派方法种数是 _________

变式 从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 _________

不同数量的两种元素 有机动元素 的分类+分选

有11名翻译人员，其中5名英语翻译员，4名日语翻译员，另2人英语、日语都精通。从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作。问这样的分配名单共可开出多少张？

变式 2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）

五、分类+分选（分组）+分配

现有4名同学及A、B、C三所大学，每名同学报名参加且只能参加其中一所大学的自主招生考试，并且每所学校至少有1名同学报名参考，其中同学甲不能参加A学校的考试，则不同的报名方式有（ ）

变式 把6名教师分成3组，分别去4个不同的学校，不同的分选方案共有（ ）

变式 从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有

常用技巧

一、直接法，间接法。 正面分类太多，而反面很少，可以考虑用间接法 我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

二、特殊元素（位置）用优先法:

把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们）安排好，后再安排其它元素。对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

2六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）

先排特殊元素 先排特殊位置

变式 一天有语文、数学、英语、政治、生物、体育六节课，体育不在第一节上，数学不在第六节上，这天课程表的不同排法种数为（ ）

三、相邻问题用捆绑法 不相邻问题用插空法

1要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”“捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。

例1. 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？

捆绑法时注意内部也要排

变式 计划在某画廊展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成