（人教版）2020届高考数学一轮复习 第七篇第5节 直线、平面垂直的判定与性质训练 理 新人教版

第5节 直线、平面垂直的判定与性质

【选题明细表】 知识点、方法 垂直关系的基本问题 直线与平面垂直的判定与性质 平面与平面垂直的判定与性质 线面角与二面角 题号 1,6,11 2,8,9,12 3,4,7 5,10,13,14 基础巩固(时间:30分钟)

1.(2017·南阳、信阳等六市一模)设直线m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是( D ) (A)若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β (B)若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β (C)若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β (D)若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β

解析:若m∥α,n∥β,m⊥n,则α、β位置关系不确定,选项A不正确;若m∥α,则α中存在直线c与m平行,m∥n,n⊥β,则c⊥β,又因为c?α,所以α⊥β,选项B不正确;若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α,β可以相交,选项C不正确;若m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n⊥β,所以α∥β,选项D正确.故选D.

2.已知平面α与平面β相交,直线m⊥α,则( C ) (A)β内必存在直线与m平行,且存在直线与m垂直

(B)β内不一定存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直 (C)β内不一定存在直线与m平行,但必存在直线与m垂直 (D)β内必存在直线与m平行,不一定存在直线与m垂直

解析:如图,在平面β内的直线若与α,β的交线a平行,则有m与之垂直.但却不一定在β内有与m平行的直线,只有当α⊥β时才存在.故选C.

3.如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在( A )

(A)直线AB上 (B)直线BC上 (C)直线AC上 (D)△ABC的内部

解析:连接AC1,因为AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,所以AC⊥平面ABC1,又AC?平面ABC,所以平面ABC1⊥平面ABC,所以点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上,故选A.

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4.如图,在四面体DABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列正确的是( C )

(A)平面ABC⊥平面ABD (B)平面ABD⊥平面BDC

(C)平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE (D)平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE

解析: 因为AB=CB,且E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,于是AC⊥平面BDE.因为AC在平面ABC内,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC?平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE,所以选C.

5.导学号 38486152已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为三角形,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( B )

的正

(A) (B) (C) (D)

解析:取正三角形ABC的中心O,

连接OP,则∠PAO是PA与平面ABC所成的角.因为底面边长为

,所以

AD=×=,AO=AD=×=1.三棱柱的体积为×()×

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AA1=,解得AA1=,即OP=AA1=,所

以tan∠PAO==,即∠PAO=.

6.设α,β是空间中两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同直线.从“①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α”中选取三个作为条件,余下一个作为结论,写出你认为正确的一个命题: (填序号).

解析:因为当n⊥β,m⊥α时,平面α及β所成的二面角与直线m,n所成的角相等或互补,所以若m⊥n,则α⊥β,从而由①③④?②正确;同理②③④?①也正确. 答案:①③④?②或②③④?①

7.如图所示,在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

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解析:由定理可知,BD⊥PC.

所以当DM⊥PC时,即有PC⊥平面MBD,而PC?平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD. 答案:DM⊥PC(答案不唯一)

8.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E,F分别是点A在PB,PC上的正投影,给出下列结论:

①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC. 其中正确结论的序号是 .

解析:由题意知PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC. 又AC⊥BC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC. 所以BC⊥AF.因为AF⊥PC,BC∩PC=C, 所以AF⊥平面PBC,所以AF⊥PB,AF⊥BC. 又AE⊥PB,AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF. 所以PB⊥EF.故①②③正确. 答案:①②③

能力提升(时间:15分钟)

9.导学号 38486153如图,正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H.

则以下命题中,错误的是( D ) (A)点H是△A1BD的垂心 (B)AH垂直于平面CB1D1 (C)AH延长线经过点C1

(D)直线AH和BB1所成角为45°

解析:对于A,由于AA1=AB=AD,所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1,B,D的距离相等,即点H是△A1BD的外心,而A1B=A1D=BD,故点H是△A1BD的垂心,命题A是真命题;

对于B,由于B1D1∥BD,CD1∥A1B,故平面A1BD∥平面CB1D1,而AH⊥平面A1BD,从而AH⊥平面CB1D1,命题B是真命题;

对于C,由于AH⊥平面CB1D1,因此AH的延长线经过点C1,命题C是真命题;

对于D,由C知直线AH即是直线AC1,又直线AA1∥BB1,因此直线AC1和BB1所成的角就等于直

线AA1与AC1所成的角,即∠A1AC1,而tan∠A1AC1==,因此命题D是假命题.

10.在边长为1的菱形ABCD中,∠ABC=60°,将菱形沿对角线AC折起,使折起后BD=1,则二面角BACD的余弦值为( A )

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(A) (B) (C) (D)

解析:在菱形ABCD中连接BD交AC于O点,则AC⊥BD,在折起后的图中,由四边形ABCD为菱

形且边长为1,则DO=OB=BD=1得cos∠DOB=

,由于DO⊥AC,BO⊥AC,因此∠DOB就是二面角BACD的平面角,由

==.

11.(2016·江西上饶质检)已知m,n是两条不相同的直线,α,β是两个不重合的平面,现有以下说法:

①若α∥β,n?α,m?β,则m∥n; ②若m⊥α,m⊥β,n⊥α,则n⊥β; ③若m⊥n,m⊥α,n⊥β,则α⊥β; ④若m∥α,n∥β,α⊥β,则m⊥n; ⑤若α⊥β,m?α,n?β,则m⊥n. 其中正确说法的序号为 .

解析:对于①,注意到分别位于两个平行平面内的两条直线未必平行,可能是异面直线,因此①不正确;对于②,由定理“垂直于同一直线的两个平面平行”得知α,β平行;由定理“若一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则它也垂直于另一个平面”得知,n⊥β,因此②正确;对于③,由定理“由空间一点向一个二面角的两个半平面分别引垂线,则这两条垂线所成的角与该二面角相等或互补”得知,③正确;对于④,分别平行于两个垂直平面的两条直线未必垂直,因此④不正确;对于⑤,m与n有可能平行,因此⑤不正确.综上所述,其中正确的说法有 ②③. 答案:②③

12.如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,且E为CD的中点,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是 .(写出所有正确说法的序号)

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