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中考冲刺：数形结合问题—知识讲解（基础）
【中考展望】
1．用数形结合的思想解题可分两类:
(1)利用几何图形的直观性表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；
(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常常要建立方程(组)或建立函数关系式等. 2. 热点内容：
在初中教材中，“数”的常见表现形式为: 实数、代数式、函数和不等式等，而“形”的常见表现形式为: 直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次函数图象对应一条直线，二次函数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容. 【方法点拨】
数形结合：就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法.
数形结合解题基本思路:“数”和“形”是数学中两个最基本的概念, 每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时,利用代数的知识,解决几何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化,化难为易,化抽象为直观.
特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a，b，c密不可分.事实上，a的符号决定抛物线的开口方向,b与a 一起决定抛物线的对称轴的位置, c 决定了抛物线与y 轴的交点位置，与a、b 一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物线图形的平移，只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c 的有关变化.
在日常的数学学习中应注意养成数形相依的观念，有意识培养数形结合思想，形成数形统一意识，提高解题能力．“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”总之，要把数形结合思想贯穿在数学学习中．数与形及其相互关系是数学研究的基本内容．
【典型例题】
类型一、利用数形结合探究数字的变化规律
1. 如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是 ．
【思路点拨】
首先计算几个特殊图形，发现：数出每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减
去.第1个图形是2×3-3，第2个图形是3×4-4，第3个图形是4×5-5，按照这样的规律
2
摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n+2n． 【答案与解析】
第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点，重复了3个点，需要黑色棋（2×3-3）个；
第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子（3×4-4）个；
第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子（4×5-5）个；
按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是（n+1）（n+2）-（n+2）=n（n+2）.
2
故答案为n（n+2）=n+2n.
【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手.找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的
关系，找规
律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律. 举一反三：
【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多_____枚棋子．
【答案】解：设第n个图形的棋子数为Sn．
第1个图形，S1=1； 第2个图形，S2=1+4； 第3个图形，S3=1+4+7；
第n个图形，Sn=1+4+…+3n-2；
第（n-1）个图形，Sn-1=1+4+…+[3（n-1）-2]；
则第n个图形比第（n-1）个图形多（3n-2）枚棋子．
类型二、 利用数形结合解决数与式的问题
2.已知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简|a+b|-|c-b|的结果是 （ ）.
ca0b
A.a+c B.-a-2b+c C.a+2b-c D.-a-c
【思路点拨】
首先从数轴上a、b、c的位置关系可知：c＜a＜0；b＞0且|b|＞|a|，接着可得a+b＞0，
【变式】如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形．
（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？ （2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；
（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）、（m-n）、mn之间的关系吗？
2
2
【答案】
解：（1）图②中阴影部分的正方形的边长等于（m-n）；
22
（2）（m-n）；（m+n）-4mn；
22
（3）（m-n）=（m+n）-4mn．
类型四、利用数形结合思想解决极值问题
4.我们知道：根据二次函数的图象，可以直接确定二次函数的最大（小）值；根据“两点之间，线段最短”，并运用轴对称的性质，可以在一条直线上找到一点，使得此点到这条直线同侧两定点之间的距离之和最短．这种“数形结合”的思想方法，非常有利于解决一些实际问题中的最大（小）值问题．请你尝试解决一下问题： （1）在图1中，抛物线所对应的二次函数的最大值是 _____.
（2）在图2中，相距3km的A、B两镇位于河岸（近似看做直线CD）的同侧，且到河岸的距离AC=1千米，BD=2千米，现要在岸边建一座水塔，直接给两镇送水，为使所用水管的长度最短，请你：
①作图确定水塔的位置；
②求出所需水管的长度（结果用准确值表示）. （3）已知x+y=6，求 x2?9?y2?25的最小值？
此问题可以通过数形结合的方法加以解决，具体步骤如下：
①如图3中，作线段AB=6，分别过点A、B，作CA⊥AB，DB⊥AB，使得CA= ____DB= ____. ②在AB上取一点P，可设AP= _____，BP= _____. ③ x2?9?___
y2?25的最小值即为线段___和线段_____长度之和的最小值，最小值为
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