4两条直线的位置关系

两条直线的位置关系

知识回顾

一、两条直线相交和平行与重合条件

1、已知两条直线方程的一般形式为l1：A1x+B1y+C1=0与l2：A2x+B2y+C2=0 l1与l2平行的条件是A1B2－A2B1=0且C1B2－C2B1≠0；或

A1B1C1. ??A2B2C2 l1与l2重合的条件是A1=λA2，B1=λB2，C1=λC2，或

A1B1C1. ??A2B2C22、已知两条直线方程的斜截式为y?k1x?b1,y?k2x?b2 l1与l2平行的条件是k1?k2且b1?b2 l1与l2重合的条件是k1?k2且b1?b2 二、两条直线垂直的条件

1、已知两条直线的一般式方程为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 当l1、l2的斜率都存在：l1的斜率是k1?? 是k1·k2=－1，即A1A2+B1B2=0；

2、已知两条直线方程的斜截式为y?k1x?b1,y?k2x?b2。直线l1与l2垂直的条件是k1·k2=－1 三、两条直线的相交：设方程分别为l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0， 若l1、l2有交点，则解方程组?A1A， l2的斜率为k2??2， 直线l1与l2垂直的条件 B1B2?A1x?B1y?C1?0有惟一实数解，以这个解为坐标的点，就是两条直线交点

?A2x?B2y?C2?0 特别值得注意的是：当l1与l2的方程所组成的方程组无解时，说明l1与l2平行；当组成的方程组有无数个 解时，说明l1与l2重合。 四、距离公式：

1、点到直线的距离：已知点P（x0,y0）和直线l：Ax?By?C?0 则点P（x0,y0）到直线Ax?By?C?0距离为d?Ax0?By0?CA?B22

2、两条平行线之间的距离：已知l1：A1x?B1y?C1?0 l2：A1x?B1y?C2?0 则两条平行线之间的距离d?五、经典例题

1、如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a的值为（ ） （A）－

C1?C2A?B22

32 （B）－6 （C）－3 （D） 232、若直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，则（ ） （A）a=2 （B）a=－2 （C）a=2或a=－2 （D）a=2，0，－2

1

3、如果直线ax+y－4=0与直线x－y－2=0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（ ） （A）－1－1 （C）a<2 （D）a<－2或a>2

4、光线由点A(－1，4)射出，在直线l：2x+3y－6=0上进行反射，已知反射光线过点B(3，所在直线的方程.

5、过点P(1，4)和Q(a，2a+2)的直线与直线2x－y－3=0平行，则a的值（ ） （A）a=1 （B）a≠1 （C）a=－1 （D）a≠－1 6、直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是（ ）

（A）平行 （B）垂直 （C）相交但不垂直 （D）不能确定，与m，n取值有关 7、直线ax+4y－2=0与直线2x－5y+c=0垂直相交于点(1，m)，则a= ，c= ，m= . 8、已知直线(a－2)y=(3a－1)x－1

(1)求证无论a为何值，直线总过第一象限． (2)为使这直线不过第二象限，求a的范围．

9、下面三条直线l1：4x＋y－4＝0，l2：mx＋y＝0，l3：2x－3my－4＝0不能构成三角形，求m的取值集合．

10、一直线过点P（2，3），且和两平行直线3x＋4y＋8＝0及3x＋4y－7＝0都相交，两交点间线段长32 ，

求这直线方程．

11、两直线ax＋y－4＝0与x－y－2＝0相交于第一象限，则实数a的取值范围是（ ）

A．－1＜a＜2 B．a＞－1 C．a＜2 D．a＜－1或a＞2

12、设a，b，k，p分别表示同一直线的横截距，纵截距，斜率和原点到直线的距离，则有（ ） b112222

A．ak＝p(1＋k) B．k＝ C． ＋ ＝p D．a＝－kb

aab

13、若点（1，1）到直线xcosα＋ysinα＝2的距离为d，则d的最大值是 ．

14、一束光线经过点A（－2，1），由直线l：x－3y＋2＝0反射后，经过点B（3，5）射出，则反射光线所在

直线的方程为 ．

15、直线2x－y－4＝0上有一点P，它与两定点A（4，－1）、B（3，4）距离之差最大，则P点坐标是 ． 16、、在△ABC中，｜AB｜＝｜AC｜，∠A＝120°，A（0，2），BC所在直线方程为3 x－y－1＝0， 求边AB、AC所在直线方程．

17、P1(x1，y1)是直线l：f(x，y)=0上一点，P2(x2，y2)是直线l外的一点，则方程f(x，y)+f(x1，y1)+f(x2，y2)所

表达的直线与l的关系是（ ）

2

62)，求反射光线 13 （A）重合 （B）平行 （C）垂直 （D）位置关系不定

18、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0)、 P(1，t)、Q(1－2t,2＋t)、R(－2t,2)，其中t>0.试判断四边形OPQR的形状．

19、已知△ABC的顶点A(3，－1)，AB边上的中线所在直线的方程为6x＋10y－59＝0， ∠B的平分线所在直线的方程为x－4y＋10＝0，求BC边所在直线的方程． 20、直线l过点A(3,4)，且与点B(－3,2)的距离最远，则l的方程为

A．3x－y－5＝0

B．3x－y＋5＝0 C．3x＋y＋13＝0

( )

D．3x＋y－13＝0

21、直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率 为( )

323 A. B. C．－

232

2

D．－

3

2

22、若直线l经过点M(a－2，－1)和N(－a－2,1)且与经过点(－2,1)，斜率为－的直线垂直，则实数a的值

3

为____________．

23、一束平行光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线与直线l

的交点坐标．

24、已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4,2)，D(2,2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯

形．

25、已知直线l与过点(?3,2),(2,?3)的直线垂直，则直线的倾斜角是（ ） （A）60 （B）120 （C）45 （D）135

26、是否存在m，使得三条直线3x－y＋2＝0,2x＋y＋3＝0，mx＋y＝0能够构成三角形？若存在，请求出m的取

值范围；若不存在，请说明理由．

27、已知点M(2,2),N(5,?2)，点P在x轴上，且?MPN为直角，求点P的坐标

28、已知△ABC的三边BC，CA，AB的中点分别是D(－2，－3)，E(3，1)，F(－1,2)．先画出这个三角形，再求

出三个顶点的坐标．

29、求过点A(－1，2)且与原点的距离为

00002的直线方程。 230、点P(x，y)在直线x+y－4=0上，O是原点，则|OP|的最小值是（ ） （A）10 （B）22 （C）6 （D）2

31、P点在直线3x+y－5=0上，且P到直线x－y－1=0的距离等于2，则P点坐标为（ ） （A）(1，2) （B）(2，1) （C）(1，2)或(2，－1) （D）(2，1)或(－1，2)

32、设点P在直线x+3y=0上，且P到原点的距离与P到直线x+3y－2=0的距离相等，则P点坐标为 . 33、已知直线l经过点P(3，1)，且被两平行直线l1：x+y+1=0和l2：x+y+6=0截得的线段长为5， 求直线l的方程.

3

34、已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x+3y－2=0，求一点P使|PA|=|PB|且P点到l的距离等于2. 35、在直线x－3y－2=0上求两点，使它与点(－2，2)构成等边三角形的三个顶点. 36、求两直线l1：x+y－2=0，l2：7x－7+4=0角平分线的方程。

37、、如图, 已知正方形ABCD的对角线AC在直线x+2y－1=0上, 且顶点A(－5,3), B(m,0)(m>－5), 求顶点B,C, D的坐标.

38、如图, 已知△ABC的一个顶点A(4,－1), 其内角B,C的平分线方程分别是y=x－1和x=1, 求BC边所在直线 的方程

38、若点A(a+2,b+2)关于直线4x+3y+11=0对称的点是B(b－4,a－b), 求a,b的值.

39、已知直线l经过点P(1，2)，并且点A(2，3)和点 B(4，-5)到直线l的距离相等，求直线l的方程. 40、已知A(0,1)，点B在直线l1：x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，直线AB的一般式方程为________ 41、在直线3x－y－1=0上求一点M, 使它到点A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大, 并求此最大值. 42、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PA?PB的值为最小 43、已知点A（-2，-5），B（6，6），点P在x轴上，且?APB?90，试求点P的坐标。

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