10个导数题（极值点的偏移）

极值点偏移的问题

1.已知f(x)?lnx?ax,(a为常数）（）若函数1f(x)在x?1处的切线与x轴平行，求a的值；1（2）当a?1时，试比较f(m)与f()的大小；m（3）f(x)有两个零点x1,x2,证明：x1?x2＞e2

变式：已知函数f(x)?lnx?ax2，a为常数。（1）?讨论f(x)的单调性；（2）若有两个零点x1,x2,，试证明：x1?x2＞e

πx2.已知f(x)?x2+ax?sin,x?(0,1);2(1)若f(x)在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）当a=-2时，记f(x)取得极小值为f(x0)若f(x1)?f(x2),求证x1?x2＞2x0

13.已知f(x)?lnx-ax2?x,(a?R)2(1)若f(1）=0，求函数f(x)的最大值；（2）令g(x)=f(x)-(ax-1),求函数g(x)的单调区间；（3）若a=-2,正实数x1,x2,满足（fx1）?f?x2??x1x2?0,证明：x1?x2?5?12

4.设a>0,函数f(x)=lnx-ax,g(x)=lnx-(1)证明：当x?1时，g(x)>0恒成立；2(x?1)x?1

（2）若函数f(x)无零点，求实数a的取值范围；（3）若函数f(x)有两个相异零点x1,x2,求证：x1x2?e2

5.已知f(x)?x?2a?alnx,常数a?R。（）求1f(x)的单调区间；（2）f(x)有两个零点x1,x2，且x1?x2；(i)指出a的取值范围，并说明理由；（ii)求证：x1?x2?8a3

6.设函数f(x)?ex?ax?a(a?R)，其图象与x轴交于A(x1， 0)，B(x2，0)两点，且x1＜x2．

（1）求a的取值范围； （2）证明：f??x1x2?0（f?(x)为函数f(x)的导函数）；

?（3）设点C在函数y?f(x)的图象上，且△ABC为等腰直角三角形，记求(a?1)(t?1)的值．

【解】（1）f?(x)?ex?a．

x2?1?t，x1?1若a≤0，则f?(x)?0，则函数f(x)是单调增函数，这与题设矛盾．所以a?0，令f?(x)?0，则x?lna．

当x?lna时，f?(x)?0，f(x)是单调减函数；x?lna时，f?(x)?0，f(x)是单调增函数；

于是当x?lna时，f(x)取得极小值．

因为函数f(x)?ex?ax?a(a?R)的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0)(x1＜x2)， 所以f(lna)?a(2?lna)?0，即a?e2．. 此时，存在1?lna，f(1)?e?0；

存在3lna?lna，f(3lna)?a3?3alna?a?a3?3a2?a?0，

lna)及(lna，??)上的单调性及曲线在R上不间断，可知a?e2为所又由f(x)在(??，求取值范围.

xx2x1??e1?ax1?a?0，e?e（2）因为?x 两式相减得a?．

2x?xe?ax?a?0，21??2x1?x22记

x2?x1x?x?s(s?0)，则f?12?e22??x1?x22??e?e?e2s?(es?e?s)???，设x2?x12sx2x1g(s)?2s?(es?e?s)，则g?(s)?2?(es?e?s)?0，所以g(s)是单调减函数，

则有g(s)?g(0)?0，而ex1?x222s?0，所以f??x1?x2?0． 2?又f?(x)?ex?a是单调增函数，且

x1?x2?x1x2 2所以f??x1x2?0．

?（3）依题意有exi?axi?a?0，则a(xi?1)?exi?0?xi?（． 1i?1，2）于是ex1?x22?a(x1?1)(x2?1)，在等腰三角形ABC中，显然C = 90°，所以

x0?x1?x2?(x1，x2)，即y0?f(x0)?0， 2由直角三角形斜边的中线性质，可知

x2?x1??y0， 2x1?x2x2?x1x?x所以y0??0，即e2?a(x1?x2)?a?21?0，

222所以a(x1?1)(x2?1)?a(x1?x2)?a?2x2?x1?0， 2(x2?1)?(x1?1)?0．

2即a(x1?1)(x2?1)?a[(x1?1)?(x2?1)]?2x2?1?1x2?1ax2?1x1?1因为x1?1?0，则a?1???0，

x1?12x1?12??又x2?1?t，所以at?a(1?t2)?1(t2?1)?0，

22x1?1即a?1?2，所以(a?1)(t?1)?2.

t?17.已知函数f(x)?xc(x?R)

（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间和极值；

（Ⅱ）已知函数y?g(x)的图象与函数y?f(x)的图象关于直线x?1对称，证明当

?xx?1时，f(x)?g(x)

（Ⅲ）如果x1?x2，且f(x1)?f(x2)，证明x1?x2?2 （Ⅰ）解：f’(x)?(1?x)e?x 令f’(x)=0,解得x=1

当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X f’(x) f(x) (??,1) + 1 0 极大值 (1,??) - 所以f(x)在(??,1)内是增函数，在(1,??)内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=

1 ex?2（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)e令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)?xe?x?(x?2)ex?2 于是F'(x)?(x?1)(e2x?2?1)e?x

当x>1时，2x-2>0,从而e2x-2?1?0,又e?x?0,所以F’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。

又F(1)=e?e?0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1）

若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),则x1?x2?1.与x1?x2矛盾。 （2）若(x1?1)(x2?1)?0,由（?）及f(x1)?f(x2),得x1?x2.与x1?x2矛盾。

根据（1）（2）得(x1?1)(x2?1)?0,不妨设x1?1,x2?1.

由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),则g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),从而

-1-1f(x1)>f(2-x2).因为x2?1，所以2?x2?1，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）

内是增函数，所以x1>2?x2,即x1?x2>2.

8. 已知函数f(x)?lnx?ax2?(2?a)x (I)讨论f(x)的单调性；（II）设a＞0，证明：当0?x?1时，f(1?x)?f(1?x)； aaa（III）若函数y= f(x)的图像与x轴交于A、B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f′(x0)<0

9. 已知函数f(x)?1?xxe.（Ⅰ）求f(x)的单调区间； 21?x（Ⅱ）证明：当f(x1)?f(x2) (x1?x2)时，x1?x2?0

2(?1?1?x)ex（?1?x2)?(1?x)ex?2xx?3?x?2x?xe?. 解： (Ⅰ) f'(x)?（1?x2)2（1?x2)2???22?4?2?0?当x?（-?，0]时，f'(x)?0,y?f(x)单调递增;

当x?[0，??）时，f'(x)?0,y?f(x)单调递减.