三角高程测量原理

§5.9 三角高程测量

三角高程测量的基本思想是根据由测站向照准点所观测的垂直角（或天顶距）和它们之间的水平距离，计算测站点与照准点之间的高差。这种方法简便灵活，受地形条件的限制较少，故适用于测定三角点的高程。三角点的高程主要是作为各种比例尺测图的高程控制的一部分。一般都是在一定密度的水准网控制下，用三角高程测量的方法测定三角点的高程。

5.9.1 三角高程测量的基本公式

1.基本公式

关于三角高程测量的基本原理和计算高差的基本公式，在测量学中已有过讨论，但公式的推导是以水平面作为依据的。在控制测量中，由于距离较长，所以必须以椭球面为依据来推导三角高程测量的基本公式。

如图5-35所示。设s0为A、B两点间的实测水平距离。仪器置于A点，仪器高度为i1。B为照准点，砚标高度为v2，R为参考椭球面上A?B?的曲率半径。PE、AF分别为过P点和A点的水准面。PC是PE在P点的切线，PN为光程曲线。当位于P点的望远镜指向与PN相切的PM方向时，由于大气折光的影响，由N点出射的光线正好落在望远镜的横丝上。这就是说，仪器置于A点测得P、M间的垂直角为a1,2。

由图5-35可明显地看出，A、B 两地面点间的高差为

h1,2?BF?MC?CE?EF?MN?NB （5-54）

图5-35

式中，EF为仪器高i1;NB为照准点的觇标高度v2；而CE和MN分别为地球曲率和折光影响。由

CE?1212s0 MN?s0 2R2R?R?K,则 R?式中R?为光程曲线PN在N点的曲率半径。设

MN?1R2K2.S0?S0 2R?R2RK称为大气垂直折光系数。

1

由于A、B两点之间的水平距离s0与曲率半径R之比值很小（当s0?10km时,s0所对的圆心角仅5?多一点），故可认为PC近似垂直于OM，即认为PCM?90?,这样?PCM可视为直角三角形。则（5-54）式中的MC为

MC?s0tan?1,2

将各项代入（5-54）式，则A、B两地面点的高差为

h1,2?s0tan?1,2?12K2s0?i1?s0?v22R2R 1?K2?s0tan?1,2?s0?i1?v22R令式中

1?K?C,C一般称为球气差系数，则上式可写成 2R2 h1.2?s0tan?1,2?Cs0?i1?v2 （5-55）

（5-55）式就是单向观测计算高差的基本公式。式中垂直

角a,仪器高i和砚标高v,均可由外业观测得到。s0为实测的水平距离，一般要化为高斯平面上的长度d。 2.距离的归算

在图5-36中，HA、HB分别为A、B两点的高程（此处已忽略了参考椭球面与大地水准面之间的差距，，其平1(HA?HB),mM为平均高程水准面。由于2实测距离s0－般不大（工程测量中一般在l0km以内），所

均高程为Hm?以可以将s0视为在平均高程水准面上的距离。 由图5-36有下列关系

图5-36

s0R?HmH??1?msRR （5-56）

Hms0?s(1?)R这就是表达实测距离s0与参考椭球面上的距离s之间的关系式。 参考椭球面上的距离s和投影在高斯投影平面上的距离d之间

2ym s?d(1?) （5-57）

2R2式中ym为A、B两点在高斯投影平面上投影点的横坐标的平均值。关系式（5-57）的推

导将在第八章中讨论。

将（5-57）式代入（5-56）式中，并略去微小项后得

2Hmyms0?d(1??) （5-58） 2R2R 2

3.用椭球面上的边长计算单向观测高差的公式 将（5-56）式代入（5-55）式，得

h1,2?stan?1,2(1?Hm )?Cs2?i1?v2 （5-59）

R式中Cs2项的数值很小，故未顾及s0与s之间的差异。 4.用高斯平面上的边长计算单向观测高差的公式 将（5-57）式代入（5-59）式，舍去微小项后得

2Hmymh1.2?dtan?1,2?Cd?i1?v2?dtan?1,2(?)R2R2 （5-60） 2Hy?dtan?1,2?Cd2?i1?v2?h?(m?m2)R2R2式中h??dtan?1,2。

令 ?h1,2则（5-60）式为

（5-62） h1,2?dtan?1,2?Cd2?i1?v2??h1,2

（5-61）式中的Hm与R相比较是一个微小的数值，只有在高山地区当Hm甚大而高差也较大时，才有必要顾及

HmH这一项。例如当Hm?1000m,h??100m时,m带这一RR2Hmym?h?(（5-61） ?)

R2R2项对高差的影响还不到0.02m，一般情况下，这一项可以略去。此外，当

2ymym?300km,h??100m时,这－项对高差的影响约为0.llm。如果要求高差计算正确22R2ym到0.lm，则只有2h?项小于0.04m时才可略去不计，因此，（5-62）式中最后一项?h1,22R只有当Hm,h?或ym较大时才有必要顾及。

5.对向观测计算高差的公式

一般要求三角高程测量进行对向观测，也就是在测站A上向B点观测垂直角?1,2，而在测站B上也向A点观测垂直角?2,1，按（5-62）式有下列两个计算高差的式子。 由测站A观测B点

h1,2?dtan?1,2?i1?v2?C1,2d2??h1,2

则测站B观测A点

h2,1?dtan?2,1?i2?v1?C2,1d2??h2,1

3

式中，i1、v1和i2、v2分别为A、B点的仪器和觇标高度；C1,2和C2,1为由A观测B和B观测A时的球气差系数。如果观测是在同样情况下进行的，特别是在同一时间作对向观测，则可以近似地假定折光系数K值对于对向观测是相同的，因此C1,2?C2,1。在上面两个式子中, ?h1,2与?h2,1的大小相等而正负号相反。 从以上两个式子可得对向观测计算高差的基本公式

111 h1,2(对向)?dtan(?1,2??2,1)?(i1?v1)?(i2?v2)??h1,2 （5-63）

222式中

2Hmym?h1,2?(?)?h?

R2R21h??dtan(?1,2??2,1)

2 6.电磁波测距三角高程测量的高差计算公式

由于电磁波测距仪的发展异常迅速，不但其测距精度高，而且使用十分方便，可以同时测定边长和垂直角，提高了作业效率，因此，利用电磁波测距仪作三角高程测量已相当普遍。根据实测试验表明，当垂直角观测精度ma??2.0??,边长在2km范围内，电磁波测距三角高程测量完全可以替代四等水准测量，如果缩短边长或提高垂直角的测定精度，还可以进一步提高测定高差的精度。如ma??1,5??, ,边长在3.5km范围内可达到四等水准测量的精度；边长在1.2km范围内可达到三等水准测量的精度。 电磁波测距三角高程测量可按斜距由下列公式计算高差

D2（5-64） h?Dsin??(1?K)cos2??i?Z

2R式中,h为测站与镜站之间的高差；?为垂直角；D为经气象改正后的斜距；K为大气折光系数；i为经纬仪水平轴到地面点的高度；Z为反光镜瞄准中心到地面点的高度。

5.9.2 垂直角的观测方法

垂直角的观测方法有中丝法和三丝法两种。 1.中丝法

中丝法也称单丝法，就是以望远镜十字丝的水平中丝照准目标，构成一个测回的观测程序为：

在盘左位置，用水平中丝照准目标一次，如图5-37（a）所示，使指标水准器气泡精密符合，读取垂直度读数，得盘左读数L。

在盘右位置，按盘左时的方法进行照准和读数，得盘右读数R。照准目标如图5-37（b）所示。

2.三丝法

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