高三数学练习五(1)

??????15. (本题14分)已知m?(2sinx,sinx?cosx)，n?(3cosx,sinx?cosx)，记函数f(x)?m?n.

（1）求函数f(x)取最大值时x的取值集合；

（2）设?ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若f(C)?2，c?3，求?ABC面积的最大值.

?????解：（1）由题意，f(x)?m?n?3sin2x?cos2x?2sin(2x?)，当f(x)取最大值时，即sin(2x?)?1，

66????? 此时2x??2k??(k?Z)，所以x的取值集合为?xx?k??,k?Z?.

623?????11?（2）因f(C)?2，由（1）得sin(2C?)?1，又0?C??，即??2C??，

6666 所以2C?2?6?2?2，解得C??3，在?ABC中，由余弦定理c?a?b?2abcosC，

222 得3?a?b?ab?ab，所以S?ABC?33133absinC?，所以?ABC面积的的最大值为. 42416．已知等差数列?an?满足a3?7,a5?a7?26,?an?的前n项和为Sn。 （1）求an及Sn；（2）令bn?1(n?N*)，求数列?bn?的前n项和Tn。 2an?1解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a3?7,a5?a7?26，解得a1?3,d?2．

n(a1?an)，所以an?2n?1,Sn?n2?2n． 211112?(?)． （2）因为an?2n?1，所以an?1?4n(n?1)，因此bn?4n(n?1)4nn?111111111n)?(1?)?故Tn?b1?b2???bn?(1???????，

4223nn?14n?14(n?1)n所以数列{bn}的前n项和Tn?．

4(n?1)由于an?a1?(n?1)d,Sn?

5

π，向量m?(sinA,1)，n?(1,cosB)，且m?n． 6????????（1）求A的值；（2）若点D在边BC上，且3BD?BC，AD?13，求△ABC的面积．

π5π解：（1）由题意知m?n?sinA?cosB?0，又C?，A?B?C?π，所以sinA?cos(?A)?0，

6617．（本题14分）在△ABC中，已知C?[来源学科网]

ππππ2π即sinA?3cosA?1sinA?0，即sin(A?π)?0，又0?A?5π，所以(A?)?(?,)，所以A??0，即A?．

226666366????????????????????2ππ（2）设BD?x，由3BD?BC，得BC?3x，由（1）知A?C?，所以BA?3x，B?，

63 在△ABD中，由余弦定理，得(13)2=(3x)2?x2?2?3x?xcos所以SΔABC?2π， 解得x?1，所以AB?BC?3， 3112π93BA?BC?sinB??3?3?sin?． 223418．(本题14分) 在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB?AC，BB1?BC，点P,Q,R分别是棱BC,CC1,B1C1 的中点. （1）求证:A1R//平面APQ； （2）求证:平面APQ?平面AB1C. 证明：（1）在直三棱柱ABC?A1B1C1中，BC//B1C1且BC?B1C1， 因点P,R分别是棱BC,B1C1的中点，所以BP//B1R且BP?B1R， 所以四边形BPRB1是平行四边形，即PR//BB1且PR?BB1， 又AA1//BB1且AA1?BB1，所以PR//AA1且PR?AA1，

即四边形APRA1是平行四边形，

所以AP//A1R，又A1R?平面APQ，所以A1R//平面APQ （2）因BB1?BC，所以四边形BCC1B1是菱形，所以B1C?BC1， 又点P,Q分别是棱BC,C1C1的中点， 即PQ//BC1，所以B1C?PQ.

因为AB?AC，点P是棱BC的中点，所以AP?BC，由直三棱柱ABC?A1B1C1，知BB1?底面ABC， 即BB1?AP， 所以AP?平面BCC1B1，则AP?B1C，所以B1C?平面APQ，又B1C?平面AB1C， 所以平面APQ?平面AB1C

19．（本题14分）如图，在五面体ABCDEF中，已知DE?平面ABCD，AD//BC，?BAD?60o，

（1）求证：BC//EF； （2）求三棱锥B?DEF的体积． AB?2，DE?EF?1．

E 证明：（1）因为AD//BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，

所以BC//平面ADEF， 又BC?平面BCEF，

[来源学科网ZXXK]

A1B1RC1QAPBC第20题

平面BCEF?平面ADEF?EF，所以BC//EF．

（2）在平面ABCD内作BH?AD于点H，

因为DE?平面ABCD，BH?平面ABCD，所以DE?BH， 又AD，DE?平面ADEF，AD?DE?D，

所以BH?平面ADEF，所以BH是三棱锥B?DEF的高．

在直角三角形ABH中，?BAD?60o，AB?2，所以BH?3， 因为DE?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以DE?AD，

又由（1）知，BC//EF，且AD//BC，所以AD//EF，所以DE?EF，

A

F D C B （第16题图）

1113V??S?BH???1?1?3?所以三棱锥B?DEF的体积． ?DEF3326

6

20．（本题14分）根据统计资料，某工艺品厂的日产量最多不超过20件，每日产品废品率p与日产量x(件)之

?2*,　　1≤x≤9,x?N,?日废品量?15?x间近似地满足关系式p??2(日产品废品率? ×100％)．已知每生产一

日产量x?60?,　 10≤x≤20,x?N*??540件正品可赢利2千元，而生产一件废品则亏损1千元．（该车间的日利润y?日正品赢利额?日废品亏损额） （1）将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数；

（2）当该车间的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是几千元？

?24x?2x2,1　≤x≤9,x?N*,??15?x解：（1）由题意可知，y?2x(1?p)?px?? 35x?x?,　 10≤x≤20,x?N*.?180?3?24x?2x2,1　≤x≤9,??15?x（2）考虑函数f(x)?? 3?5x?x,　 10≤x≤20,?180?3

当15?35?x≤9时，f'(x)?0，函数f(x)在(15?35,9]上单调减． 所以当x?15?35时，f(x)取得极大值，也是最大值，

6464，f(9)?9，所以当x?8时，f(x)有最大值．??10分 775x2100?x2?≤0，所以函数f(x)在[10,20]上单调减， 当10≤x≤20时，f'(x)??36060100所以当x?10时，f(x)取得极大值，也是最大值．

910064由于?，所以当该车间的日产量为10件时，日利润最大．

97100答：当该车间的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是千元．??14分

9又x是整数，f(8)?[来源:Zxxk.Com]

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作业：

1、在平面直角坐标系xOy中，若曲线y?lnx在x?e(e为自然对数的底数)处的切线与直线 ax?y?3?0垂直，

则实数a的值为 ． 答案：?e

分析：y?lnx的导数为y'?1，则当x?e时，y'?1，即该处切线的斜率为1，则a?1??1，所以a??e；

xeee2.在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?3 cm，AD?2 cm，AA1?1 cm，则三棱锥B1?ABD1的体积为 cm3．

D1A1 A

C1

不DB1不C

不B

不（第2题）

不

3.已知等差数列?an?的首项为4，公差为2，前n项和为Sn．若Sk

?ak?5?44(k?N?)，则k的值为 ．

4.设f(x)?4x3?mx2?(m?3)x?n(m，n?R)是R上的单调增函数，则m的值为 ． 分析：f'(x)?12x2?2mx?m?3，因为f(x)是R上的单调增函数，所以f'(x)?0在R上恒成立， 则(2m)2?4?12(m?3)?0即(m?6)2?0，所以m?6；

????????????????5.在平行四边形ABCD中，AC?AD?AC?BD?3，则线段AC的长为 ．

????????????????????????????????????分析：由AC?AD?AC?BD得AC?(AD?BD)?0，即AC?AB?0，所以AC?AB，于是AC?CD，又

????2????????????????????????2????????????2AC?AD?AC?(AC?CD)?AC?AC?CD?AC，即AC?3，所以AC?3；

6.如图，在△ABC中，AB?3，AC?2，BC?4，点D在边BC上，?BAD?45°，则tan?CAD的值为 ．

A

B D

（第12题）

C

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