高三数学练习五(1)

高三数学练习五

1．在?ABC中，AB?2,AC?3,角A的平分线与AB边上的中线交于点O，

若AO?xAB?yAC(x,y?R),则x?y的值为 ． 解：E为AB的中点，由角平分线性质定理得

5 8COAC??3 OEAE????????????????3????????31?????????1????3???5则AO?AC?CO?AC?CE?AC?(AB?AC)?AB?AC, ∴x?y=

844284?3π)，则?的最小值为 2．函数y?sin2x的图象向左平移?(??0)个单位，若所得图象过点(,62 解：函数y?sin2x的图象向左平移?(??0)个单位所得的函数解析式为：y?sin2(x??)

即y?sin(2x?2?)且图象过点( 所以3、若角?+6?6,3??3)，则?sin(2??2?)?sin(?2?) 2263?3??2??2k???3或?3+2?=2k??2?,k?z，则?的最小值为π

631x上，则tan?的值为 .

42?1 分析：若角?+的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y?x上,

42?1?tan??111 则tan(??)?，又tan(??)?，计算得tan???，故答案为?.

4241?tan?33的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y?4．已知P．若sin(??)?12??（?为钝角）1(x1,y1)，P2(x2,y2)是以原点O为圆心的单位圆上的两点，?POP则x1x2?y1y2的值为 ．

π43，5

5、某公司从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人，若这四人被录用的机会均等，则甲与乙中至少有一人 被录用的概率为 ．

分析：从四名大学毕业生甲、乙、丙、丁中录用两人共有C4?6种选法，甲与乙都没有被录用共有1中选法， 所以甲与乙中至少有一人被录用共有6-1=5种选法，甲与乙中至少有一人被录用的概率为

1

255，故答案为 66

6．已知函数f(x)?Asin(?x??)（A，?，?是常数，A?0，??0）的部分图象如图所示． 若f(?)?1，??(0,)则sin2?? ．

π3 解：由函数图像知：A=3，

T7??????, 所以T??, 则?=2；故f(x)?3sin(2x??)， 41234????1，f(x)?3sin(2x?)因为f(?)?1即sin(2??)=1，得sin(2??)=，

333333?22ππ?π??2??，故，则sin2?? cos(2??)=-???(0,)?2???0,,?2???,????3333?3??3???????1?26????????sin??2?????=sin?2???cos?cos?2???sin= 63?33?33?3?????（，0）又过，解得?=?7、（1）（某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[61, 120]的人数为 ． 分析：根据系统抽样的特点知，组距为

S?0 I?0WhileI?4I?I?1S?S?IEndWhilePrintS第3题 840?20， 42 则抽取的42人中, 编号落入区间[61, 120]的人数 为(120?61?1)?20?3 故答案为3

（2）根据如图所示的伪代码，则输出的S的值为 .

8．已知函数f(x)?

1a?(a?R)．若存在实数m，n，使得f(x)≥0的解集恰为?m,n?，则a的取值范围是 xex

2

9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)??x2?3x，则不等式f(x?1)??x?4的 解集是 ．

x2?x10、若函数f(x)?2?k?3?2，则k?2是函数f(x)为奇函数的 条件. 答案：为充分不必要.

?? (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)

x2?x 分析：f(x)?2?k?3?2?f(?x)?2?x?(k2?3)?2?x 因为函数f(x)为奇函数，

??所以f(x)??f(?x)，则k?3?1?k??2

k?2是函数f(x)为奇函数的充分不必要条件，

12、动直线y?k(x?2)与曲线y?1?x2相交于A，B两点，O为

坐标原点，当?AOB的面积取得最大值时，k的值为 . 分析：易得直线y?k(x?2)过定点C(2,0)，

曲线y?1?x2表示圆x?y?1的上半圆，

S?AOB?222?1OA?OB?sinAOB，当?AOB?时，

22?AOB的面积取得最大值，如图作OH?AB，在Rt?AOB中， AB?AO2?BO2?2，则OH?2， 又在Rt?OHC中，OC?2， 2?3?5?3??所以?OCH?，则k?tan(??)?tan 故答案为?

63663????????2?ACABCD?A?11、在边长为1的菱形中，，若点P为对角线上一点，则PB?PD的最大值为 .

32?? 分析：在菱形ABCD中，?A?，则?B??C?，

33 又AB?BC?CD?AD,所以?ABC，?ACD都是等边三角形，即AC?1，设AP?x?[0,1]

????????????????????????????2????????????????????????2???????????????? PB?PD?(AB?AP)?(AD?AP)?AP?AP?(AB?AD)?AB?AD?AP?AP?AC?AB?AD

2?1132?x2?x??(x?)2? ?x?x?1?cos0?1?1?cos3224????????1 当x?0或x?1时，PB?PD取得最大值?

2

3

12、设Sn是等差数列?an?的前n项和，若数列?an?满足an?Sn?An2?Bn?C且A?0， 则

1?B?C的最小值为 ． An(n?1)d，又an?Sn?An2?Bn?C 2dd2dd2 所以a1?(n?1)d?na1?n?n?An?Bn?C 即得A?，B?a1?，C?a1?d

222212d23d23d23d 所以?B?C??a1??a1?d?? 因为A?0，所以d?0 ??2??23 Ad2d2d2d223d123 当且仅当?即d?时取得等号，所以?B?C的最小值为23 故答案为23 d2A3分析：令an?a1?(n?1)d，则Sn?na1?13．已知函数f(x)?ex?1?x?2(e为自然对数的底数），g(x)?x2?ax?a?3,若存在实数x1,x2，

使得f(x1)?g(x2)?0,且x1?x2?1,则实数a的取值范围是 ．[2,3] 解：函数f(x)?e?x?2的导数为f'(x)?ex?1?1＞0在R上恒成立，则函数f(x)?ex?1?x?2

在R上递增，由f(1)?0可得x1?1，由于若存在实数x1,x2，使得f(x1)?g(x2)?0,且x1?x2?1,

x?12 即为g(x2)?0,且1?x2?1?0?x2?2 ，即x?ax?a?3?0在0?x?2上有解

x2?34?(x?1)??2在0?x?2上有解 则a?x?1x?1 设t?x?1 ，则由0?x?2得1?t?3，

11 由于y?t??2在?1,2?上递减，而在?2,3?上递增，且y?t??2在1?t?3上的最大值为3，

tt 最小值为2，所以实数a的取值范围是[2,3]

14、若函数f(x)??lnx?ax2?bx?a?2b有两个极值点x1,x2，其中? 则方程2a[f(x)]2?bf(x)?1?0的实根个数为 .

1?a?0,b?0，且f(x2)?x2?x1， 212ax2?bx?1分析：f?(x)???2ax?b? 因为函数f(x)??lnx?ax2?bx?a?2b有两个极值点x1,x2

xxbb2 所以方程2ax?bx?1?0有两个不相等的正根x1,x2，x1?x2??,x1x2??

2a2a1 因为??a?0,b?0，x2?x1，所以f(x)在(0,x1]或[x2,??)上单调递减，在[x1,x2]上单调递增

2bb?0,x1x2???1 所以x1?0，x2?1，f(1)??b?0 x1?x2??2a2a 故当x?x1时，f(x)取得极小值f(x1)?f(1)?0， 当x?x2时，f(x)取得极大值f(x2)?x2?0，

2 令f(x)?t，则方程2a[f(x)]?bf(x)?1?0可化为2at?bt?1?0，

2 由上可知方程2at?bt?1?0有两个不相等的正根x1,x2，即f(x)?x1或f(x)?x2，

2 所以2a[f(x)]?bf(x)?1?0实根的个数相当于函数f(x)与直线y?x1，y?x2交点个数

2 由图可知函数f(x)与直线y?x1有三个交点，函数f(x)与直线y?x2有三个交点， 综上所述方程2a[f(x)]?bf(x)?1?0实根的个数为5.

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