大学数学毕业论文：关于函数的一致连续问题

关于函数的一致连续问题

摘要:从函数的一致连续概念出发,总结了一致连续的条件及运算性质.

关键词:函数;一致连续;连续

在数学分析中,关于函数一致连续问题的理解与应用是理解数学中其他知识的基础, 但目前各种教材对这类问题提出和总结得不够,广大数学爱好者很难对其有全面清晰的 认识.为了加深对一致连续问题的认识,本文从一致连续的概念出发,总结了一致连续的 条件、运算性质.

1 一致连续及其相关概念 定义1

设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上连续是指, x0∈I, ε > 0, δ> 0,当x∈I且 x-x0 <δ时,有 f(x) -f(x0) <ε.

定义2 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上一致连续是指,对 ε > 0, δ> 0(其中δ与ε对应而与x,y无关),使得对区间I上任意两点x,y,只要 x- y <δ,就有 f(x) -f(y) <ε.

定义3 设f(x)在区间I上有定义,称函数f(x)在区间I上不一致连续是指,至少

一个ε0>0,对 δ>0,都可以找到x′,x″∈I,满足︱ x′-x″︱ <δ,但 ︱f(x′)-f(x″)︱ ≥ε0.

评注1 比较函数在区间上的连续性与一致连续性的定义知,连续性的δ不仅与ε有 关而且与x0有关,即对于不同的x0,一般说来δ是不同的.这表明只要函数在区间上的每 一点处都连续,函数就在这一区间上连续.而一致连续的δ仅与ε有关,与x0无关,即对于 不同的x0,δ是相同的,这表明函数在区间上的一致连续性,不仅要求函数在这一区间上 的每一点处都连续,而且要求函数在这一区间上的连续是处处一致的.

在区间I上一致连续的函数在该区间I上一定是连续的,反之,在I上连续的函数在 该I上不一定是一致连续的.

评注2 一致连续的实质,就是当这个区间的任意两个彼此充分靠近的点上的值之 差(就绝对值来说)可以任意小.

用定义证明f(x)在I上一致连续,通常的方法是设法证明f(x)在I上满足Lipschitz

条件 ︱f(x′)-f(x″)︱ ≤L ︱x′-x″︱ , ?x′,x″∈I,其中L为某一常数,此条件必成立.特

别地,若f′(x)在I上是有界函数,则f(x)在I上Lipschitz条件成立. 2 一致连续的条件及有关结论 2.1 一致连续的条件

定理1(G·康托定理) 若函数f(x)在区间[a,b]上连续,则它在这个区间上也是 一致连续的.

证明 要证的是对于任意给定了的ε> 0,可以分区间[a,b]成有限多个小段,使得

f(x)在每一小段上任意两点的函数值之差都小于ε,以下用反证法证之,若上述事实不成 立,则至少对于某一个?0> 0而言,区间[a,b]不能按上述要求分成有限多个小段. 将[a,b]二等分为[a,c0]、[c0,b],则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限 多个小段,把它记为[a1,b1].再将[a1,b1]二等分为[a1,c1]、[c1,b1],依同样的方法取定其 一,记为[a2,b2].如此继续下去,就得到一个闭区间套[an,bn],n= 1,2,…,由区间套定理 知, 唯一的点c属于所有这些闭区间.因c∈[a,b],所以f(x)在点x=c连续,于是可 找到δ> 0,使︱ x-c ︱<δ(x∈[a,b])时, ︱f(x) -f(c)︱ <ε0/2.

注意到c= liman?limbn我们可取充分大的k,使 ︱ak-c ︱<δ, ︱bk-c ︱<δ,从而

n??n??对于[ak,bk]上任意点x,都有 ︱x-c ︱<δ,因此,对于[ak,bk]上的任意两点x1,x2都有 ︱f(x1) -f(x2)︱ ≤ ︱f(x1) -f(c) + f(c) -f(x2)︱ <

?0?1? =?0 22 这表明[ak,bk]能按要求那样分为有限多个小段(其实在整个[ak,bk]上任意两点的 函数值之差已小于?0了),这是和区间[ak,bk]的定义矛盾的,这个矛盾表明我们在开始时 所作的反证假设是不正确的,从而定理的结论正确. 评注3 定理1对开区间不成立.例如函数f(x) =

1在(0,1)的每一个点都连续, x但在该区间并不一致连续.事实上,对于任意小的δ>0,令x1=δ,x2=2δ,则 ︱x1-x2 ︱ =δ,而 ︱f(x1) -f(x2)︱ =

1?_11?,这时︱ x1-x2︱ 可以任意小,但︱ f(x1) - 2?2?f(x2) ︱可以任意大.函数f(x) = tanx在(-都是无界函数,而sin

??,)也有类似的情形.以上两例讨论的 221在(0,1)内的每一点都连续,且显然在这个区间内有界,然而它也 x没有一致连续性,因为有任意小(因而也就彼此任意接近)的数x1与x2存在,使sin

11=1,sin=- 1. xx2n?? 定理2 f(x)在区间I上一致连续的充要条件是在区间I上满足lim(xn-yn) = 0 的任意两数列{xn}、{yn},必有lim[f(xn) -f(yn)] = 0.

n?? 证明 必要性.若f(x)在I上一致连续,由一致连续性的定义, ?ε>0, ?δ>0,当 ︱xn-yn︱ <δ时,︱ f(xn)-f(yn) ︱<ε,即任两数列{xn}、{yn},当n→∞时, ︱xn-yn︱ → 0,则必有 ︱f(x0) -f(yn) ︱→0.

充分性.用反证法,若两数列{xn}、{yn},当n→∞时, ︱xn-yn︱ →0,︱ f(xn)-f(yn)︱ →0而f(x)在I上不一致连续,那么一定?ε0> 0,对?δn> 0,存在xn,yn,当 ︱xn-yn︱ <δn时,︱ f(xn) -f(yn) ︱≥ε0,取δn→0,我们得到两数列{xn}、{yn},当n→∞时,xn- yn→0,但 ︱f(xn) -f(yn) ︱≥ε0,这与假设lim[f(xn) -f(yn)] = 0矛盾.

n?? 评注4 定理2所述的必要性常被用来判定一个函数是不是一致连续的. 例如,函数f(x) = sin

?,在区间(0,1)上是连续的且有界,但在此区间上并非一致 x22,xn′= nn?1连续.事实上,当x≠0时,由基本初等函数在其有定义的区间上连续知,f(x)是连续的, 同时,由于 ︱f(x) ︱≤1,因而它也是有界的.现考虑(0,1)上的两串数列xn=

,则当0<ε0<1时,不论δ>0取得多么小,只要n充分大,总可以使 ︱xn-xn′︱ =<δ,但是 ︱f(xn) -f(xn’)︱ = 1 >ε0,因而f(x)在(0,1)上并非一致连续.

2

n(n?1) 定理3 设f(x)在有限区间I上有定义,那么f(x)在I上一致连续的充要条件是 对任意柯西(Cauchy)列{xn} I,{f(xn)} R′也是Cauchy列.

证明 必要性.因f(x)一致连续,即对 ε> 0, δ> 0,对 x′,x″∈I,只要 ︱x′

-x″︱ <δ,就有 ︱f(x′) -f(x″)︱ <ε.设{xn} I为Cauchy列,于是对上面的δ> 0,必 N> 0,使当n,m>N时,有 ︱f(xn) -f(xm)︱ <ε,即{f(xn)}是Cauchy列. 充分性.若不然,必 ε0> 0,x′n,x″n∈I,虽然 xn′-xn″ <

1,但是︱ f(xn′) - nf(xn″) ︱≥ε0,由{xn′}有界知,存在收剑子列{xnk′},从而{xnk″}也收剑于同一点,显然xn1′,

xn1″,xn2′,xn1″,…,是Cauchy列,但是f(xn1′),f(xn1″),f(xn2′),f(xn2″),…,不是Cauchy 列,此为矛盾,故f(x)在I上一致连续.

定理4 设f(x)在有限区间(a,b)上连续,则f(x)在(a,b)上一致连续的充要条件 是f(a+ 0)、f(b- 0)存在且有限. 证明 充分性.令F(x) = f(a+ 0) (x=a), f(x) (x∈(a,b)), f(b- 0) (x=b),

则F(x)∈C[a,b],因此F(x)在

[a,b]上一致连续,从而f(x)在(a,b)上一致连续.

必要性.已知f(x)在(a,b)上一致连续,所以对于 ε> 0, δ> 0,当x′,x″∈(a,

b)且︱x′-x″︱<δ时, ︱f(x′) -f(x″)︱<ε成立.对端点a,当x′,x″满足0

??,0

评注5 (1)当(a,b)为无穷区间,本例中的条件是f(x)在(a,b)上一致连续的条件 充分但不必要.例如f(x)=x,φ(x)=sinx,x∈(-∞,+∞)及g(x)=

x,x∈(0,

+∞)均为所给区间上的一致连续函数,但f(-∞) =-∞,f(+∞) =g(+∞) = +∞,φ(+∞)和φ(-∞)不存在.

(2)定理提供了一个判断函数一致连续性简单而有效的方法.例如,研究下列函数 在所示区间上的一致连续性.

sinx1x (0

x?0x??xx i)f(x) =

limx→0+0excos1x不存在,所以f(x)在(0,1)内不一致连续.

(3)由定理知,若f(x)∈C(a,b),则f(x)可连续延拓到[a,b]上的充要条件是 f(x)在(a,b)上一致连续.

定理5 函数f(x)在区间I上一致连续的充要条件是,对 ε>0及x,y∈I,总 正数N,使正︱ f(x) -f(y) ︱>N︱ x-y ︱. (1) 恒有

︱ f(x) -f(y) ︱<ε. (2)

证明 因为f(x)在I上一致连续的定义等价于:对?ε>0, ?δ>0,使得对于?x,y

∈I,如果

︱f(x) -f(y)︱ ≥ε, (3)

就有 ︱x-y ︱≥δ.而题设条件为对 ε>0, N>0,对x,y∈I,当不等式(3)成立时, ︱f(x) -f(y)︱ ≤N ︱x-y ︱. (4)

充分性.若题设中条件成立,则由(4)式得 ︱x-y︱ ≥得 ︱x-y ︱≥

1︱f(x) -f(y) ︱，再由(3)式 N??,所以对给定的ε> 0,只要取δ=,当x,y∈I,且满足(3)时,就有 ︱x NN-y ︱≥δ成立.

必要性.若f(x)在I上一致连续,则对任给的ε> 0,存在δ> 0,使当x,y∈I,且满 足不等式(3)时,就有不等式 ︱x-y ︱≥δ成立,故 整数k,使得 kδ≤ ︱x-y︱ ≤(k+ 1)δ. (5)

不妨设x

f(x)?f(y)x?y︱<δ,故︱ f(xi) -f(xi-1)︱ <ε,i= 1,2,…,k+ 1, ︱︱≤k?1x?y(k?1)?2?? k??{

?i?1k?1︱f(xi)?f(xi?1)︱}/k??令N= [

2??] + 1,则当I中的点x,y

使(3)式成立时,必有(4)式成立,从而(1)式成立时,有(2)式成立.

评注6 本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范,它在理论研究上具有一定 的意义.

2.2 一致连续函数的运算性质

一致连续函数有一系列的运算性质,归结如下几个命题.

命题1 设φ(x)与ψ(x)在区间I上一致连续,则αφ(x) +βψ(x)在I上一致连续 (α,β为任意常数).

命题2 设φ(x),ψ(x)在有限区间I上一致连续,那么ψ(x)ψ(x)在I上也一致连续. 命题3 设φ(x),ψ(x)在无限区间I上一致连续且有界,那么φ(x)ψ(x)在I上也一 致连续.

其中“有界”的条件不可少,例如f(x) =x在(-∞, +∞)上一致连续,但无界,而 f(x)·f(x) =x2在(-∞, +∞)上不一致连续.

命题4 设φ(x)在区间I上一致连续且infF(x)> 0,那么上也一致连续.

最后应指出,一致连续函数的反函数,一般说来,不再一致连续,例如f(x)= (0, +∞)上一致连续而它的反函数f在有限区间上,结论仍真.

?11在I fx在

2 (x)= x在(0,+∞)内不一致连续,但可以证明

参考文献:

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