第三章 傅里叶分析

即

L≥N+M-1

否则，在循环卷积周期延拓时会产生混叠。

II. 用循环卷积实现线性卷积的具体步骤

i) 根据上述条件，取L=N+M-1，分别将序列x(n)、h(n)补零扩展为L点序列，即

?x(n)，0?n?N?1?h(n)，0?n?M?1，h(n)?? x(n)??0，N?n?L?10，M?n?L?1??ii) 分别计算序列x(n)、h(n)的L点离散傅里叶变换，即

X(k)?DFT[x(n)]，H(k)?DFT[h(n)]

iii) 利用时域循环卷积定理计算序列x(n)、h(n)的L点循环卷积，且它就等于其线

性卷积，即

Lh(n)?IDFT[X(k)H(k)] y(n)?x(n)?h(n)?x(n)○

用循环卷积实现线性卷积的过程如图所示。 X(k) x(n) x(n) 补零扩展 L点DFT

L点 N点

相乘

h(n) h(n) L点DFT 补零扩展 H(k) L点 M点

4. Parseval（帕塞瓦）定理

N?1*X(k)H(k) L点IDFT y(n) 1N?1x(n)y(n)??X(k)Y*(k) ?Nk?0n?0证： 由DFT的逆变换和正变换的定义，可得

?1N?1?kn?x(n)y(n)?x(n)Y(k)W??N??N?n?0n?0?k?0?1N?1*N?1kn??Y(k)?x(n)WN Nk?0n?0*N?1N?1*1?N如果令y(n) = x(n)，则上式变为

N?1?Yk?0N?1*(k)X(k)1N?1x(n)x(n)??X(k)X*(k) ?Nk?0n?0*即

1N?12 x(n)?X(k)??Nn?0k?02N?1这表明：序列在时域的能量与在频域的能量是相等的。

三、 DFT与DTFT及Z变换的关系

- 3-9 -

1. Z变换与DTFT的关系

DTFT与Z变换之间存在关系

DTFT[x(n)]?X(ej?)?X(z)z?ej?

即：若Z变换的收敛域包含单位圆，则序列的DTFT也就是单位圆上的Z变换。 2. Z变换与DFT的关系

有限长序列x(n)的DFT为

knX(k)??x(n)WN，k?0，1，?，N?1

n?0N?1其Z变换为

X(z)?对照上述公式，可知

n????x(n)z??n

X(k)?X(z)z?W?k?X(z)z?ej2N?k，k?0，1，?，N?1

N这表明：序列的DFT也就是其Z变换在单位圆上的等间隔采样，其角度间隔为ω=2π/N，

即将单位圆N等分，各序列的DFT值均匀分布在单位圆上。 3. DTFT与DFT的关系

ω

由于Z变换在单位圆上的取值就等于序列的傅里叶变换 X(ej)，则

X(k)?X(z)2?jkz?eN?X(ej2?kN)??2?kN?X(e)j?，k?0，1，?，N?1

这表明：序列的DFT也就是其DTFT的等间距采样，其采样间距为ω=2π/N。

序列的Z变换、DFT以及DTFT 的关系如图所示（P68图3.2.5）。

四、 频域采样

频域采样定理： ．．．．．．．

对于长度为频域采样不失真的条件是：频域采样点数N．．．．．M．的有限长序列，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．不小于序列．．．．．长度，即 ．．M．．．

N?M

五、 DFT在实际应用中的问题 1. 混叠失真现象 2. 栅栏效应

- 3-10 -

因为DFT计算信号频谱，只给出了基频整数倍处的离散谱，而不是连续频谱，这就象通过一个“栅栏”观看景象一样，只能在离散点上看到真实景象，这种现象称为“栅栏效应”。 ．．．．减小栅栏效应的一个方法就是要使频域采样更密，即增加频域采样点数，这样必然使各谱线间的距离更近，从而使原来被“栅栏”挡住的频谱分量显露出来，为此，我们可以在不改变原有数据记录的基础上，采用在时域数据的末尾补零的方法来实现。补零的好处在于：．．．．．．．○1使频域采样更密，减小栅栏效应；○2使采样点数的整数次幂，便于利用计算机．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．N．变为．．2．．．．．．．．．．．．．．实现快速傅里叶变换（FFT）。（P209） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3. 频谱泄漏

在进行谱分析时，通常需要用矩形窗将长序列信号截取成若干段有限长序列信号，这种过程相当于原序列与矩形窗函数相乘，而时域相乘则对应于频域中的原序列频谱与矩形窗函数频谱的卷积过程，从而造成卷积后的频谱拓宽，即：在频谱图中的主瓣以外，又出现了多个旁瓣，这种失真现象就称为“频谱泄漏”现象。 ．．．．

为了减少泄漏带来的影响，截取信号时应根据具体情况，选择合适的窗函数，如哈明窗．．．．．．．．或汉宁窗等。那么，窗函数的选择依据如下： 1. 窗函数的评价指标（P207~208）

（1） 最大旁瓣用最大旁瓣值与主瓣峰值之比的对数来表示，即20lg(A旁max/A峰)； （2） 旁瓣衰减率以10个相邻旁瓣峰值的衰减比的对数来表示，即20lg(A旁10/A旁1)；

?G读??1??100%； （3） 主瓣峰值可能最大误差???G?峰?（4） 主瓣宽

主瓣的宽窄对频率分辨率有影响，若主瓣宽越窄，则分辨率越高。 2. 窗函数的长度

窗的长度越长，其分辨率越高。 3. 窗函数的位置

对于周期信号尽量保证整周期采样。

3.4 快速傅里叶变换（FFT）

1965年，库利（J.W.Cooley）和图基（J.W.Tukey）在《计算数学》杂志上发表了著名的“机器计算傅里叶级数的一种算法”的文章，提出了DFT的一种快速算法。 一、 直接计算DFT的问题及改进途径

N点有限长序列x(n)的离散傅里叶变换公式为：

- 3-11 -

正变换 X(k)?DFT[x(n)]??x(n)Wn?0N?1knN，k?0，1，?，N?1

1N?1?kn反变换 x(n)?IDFT[X(k)]?X(k)WN，n?0，1，?，N?1 ?Nk?0实现整个DFT运算需要进行N 2次复数乘法和N(N-1)次复数加法。由此可见，直接计算DFT时，其乘法次数和加法次数都与N 2成正比。

kn解决途径：利用系数WN所固有的周期性、对称性等特性，可以将长序列的DFT分解．．．．．

为短序列的DFT，这样就可以大大减少DFT的运算量。正是基于这种基本思路而形成了快速傅里叶变换算法（Fast Fourier Transform，缩写为FFT），这种算法基本上可分为两大类：按时间抽取法（Decimation-In-Time，缩写为DIT）和按频率抽取法（Decimation-In-Frequency，缩写为DIF）。

注意：快速傅里叶变换（FFT）并不是一种新的变换，而是离散傅里叶变换（DFT）的一种．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．快速算法。 ．．．．．

二、 按时间抽取（DIT）的基-2FFT算法（库利-图基算法） 1. 算法的原理

先假设序列x(n)的长度N=2M（M为整数）。如果不满足这个条件，可以人为地在序列末尾补上若干个零值点，使其达到这一要求。这种N为2的整数幂的FFT也称基-2FFT。

将长度为N=2M的序列按n的奇偶分为两组，则通过公式推导可知，一个N点DFT可分解成两个N/2点DFT。

如果采用蝶形信号流图来表示上述分解过程，则该分解过程为

（将一个N点DFT分解为两个N/2点DFT） 由于N=2M，则N/2仍是偶数。因此，若进一步将每个N/2点子序列再按奇偶部分分解

k2k成两个N/4点的子序列，且将系数统一为WN/2?WN，则一个N=8点DFT就可以分解为

四个N/4=2点DFT（无需再分解），如图所示。

- 3-12 -