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（2） 频域卷积
由于DFS和IDFS的对称性，同样可以证明：时域周期序列的乘积对应频域周期序列的周期卷积，即：
若f(n)?~x(n)~y(n)，则
~1N?1~~~~~*Y(K)?F(k)?X(K)○?X(l)Y(k?l)
Nl?01 ?N?Y(l)X(k?l)
l?0N?1~~3.3 离散傅里叶变换（DFT）
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一、 DFT的定义
1. 有限长序列和周期序列的关系
x(n)之间的关系可表示为 有限长序列x(n)和周期序列~x(n)，0?n?N?1?~ x(n)??0，其他n?x(n)的第一个周期（n=0~N-1）定义为“主值区间”x(n)通常，我们将周期序列~，故x(n)是~的“主值序列”，且上述关系式可简写为
?对有限长序列进行?周期~ （3.3.1） x(n)?x((n))N ??延拓，可得到周期??序列??式中，((n))N表示“n对N求余数”，或称“n对N取模值”；
利用长度为N的矩形序列符号RN(n)，即
?1，RN(n)???0，则（3.3.1）式又可写成
0?n?N?1其他n
?对周期序列进行截?取，~ x(n)?x(n)RN(n) ??可得到有限长序列??序??列同理，频域周期序列X(k)也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓，而有限长序列X(k)则可看成是周期序列X(k)的主值序列，即
~~~X(k)?X((k))N或X(k)?X(k)RN(k)
~2. 有限长序列的离散傅里叶变换对
有限长序列的离散傅里叶变换公式为： 正变换 X(k)?DFT[x(n)]??x(n)Wn?0N?1knN，0?k?N?1
1N?1?kn反变换 x(n)?IDFT[X(k)]?X(k)WN，?Nk?0二、 DFT的性质 1. 线性性质
设x1(n)和x2(n)均是长度为N的有限长序列，且有
0?n?N?1
X1(k)?DFT[x1(n)]，X2(k)?DFT[x2(n)]
则 DFT[ax1(n)?bx2(n)]?aX1(k)?bX2(k)
说明：
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（1） 若x1(n)和x2(n)的长度均为N，则ax1(n)+bx2(n)的长度也为N；
（2） 若x1(n)和x2(n)的长度不等，设分别为N1和N2，则ax1(n)+bx2(n)的长度应为二者中的最大值，即N = max[N1, N2]；
例如，当N1 有限长序列x(n)左移m（m为正整数）位的循环移位定义为 xm(n)?x((n?m))NRN(n) 可见，上式的循环移位表示将序列x(n)周期延拓成周期序列~x(n)?x((n))N后，再左移m位并取其主值序列而得到的。注意：序列的循环移位始终限定在主值区间内进行。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．如图所示，有限长序列循环移位的过程中，在主值区间（n=0~N-1）内，当某序列值从区间的一端移出时，与它同值的序列值又从区间的另一端移入，因而，此过程可以看成是将序列x(n)按逆时针方向排列在一个N等分的圆周上，则序列循环左移m位就相当于将该序列在圆周上顺时针旋转m位。 （2） 时域移位特性 ?mkXm(k)?DFT[xm(n)]?DFT[x((n?m))NRN(n)]?WNX(k) （3） 频域移位特性 nlIDFT[X((k?l))NRN(k)]?WNx(n) 3. 循环卷积（又称圆周卷积） （1） 循环卷积的定义 长度均为N的有限长序列x(n)和h(n)的循环卷积定义为 Nh(n)?[x((n))○*h((n))]R(n) y(n)?x(n)○NNN- 3-7 - ?N?1????x(m)h((n?m))N?RN(n)?m?0??????h(m)x((n?m))N?RN(n)?m?0?N?1 （3.3.5） 可见，循环卷积就是周期卷积在主值区间（n=0~N-1）内的值 （2） 循环卷积的运算方法 1利用求和定义式（3.3.5）直接求解； ○ 2利用与周期卷积的关系求解； ○ 3根据循环卷积的特点，利用图解法求解，其步骤如下： ○ I. 将序列x(n)按逆时针方向均匀地（N等分）分布在一个圆周（内圆）上，而将序 列h(n)按顺时针方向均匀地（N等分）分布在另一个圆周（外圆）上，如图（a）所示； II. 求两个圆上相应序列的乘积，并叠加N项乘积作为n=0时循环卷积值y(0)； III. 若求n=1时循环卷积值y(1)，则将外圆h(n)固定，把内圆上的序列x(n)顺时针旋 转一个单位（或将内圆x(n)固定，把外圆上的序列h(n)逆时针旋转一个单位，即内、外圆相对旋转一个单位），并将对应项的乘积叠加，即为所求的y(1) 值，如图（b）所示； IV. 类似地，依次取n=2~N-1，重复步骤Ⅲ，直到将内圆序列循环移位一周，便可以 求得所有的y(n)值； （3） 时域和频域循环卷积定理 I. 时域循环卷积定理 Nh(n)，则Y(k)?X(k)H(k) 若y(n)?x(n)○ 这表明：两序列循环卷积的离散傅里叶变换等于其傅里叶变换的乘积。 II. 频域循环卷积定理 若y(n)?x(n)h(n)，则Y(k)?1NH(k) X(k)○ N 这表明：两序列乘积的离散傅里叶变换等于其傅里叶变换的循环卷积乘以1/N。 （4） 循环卷积、周期卷积和线性卷积的关系 1利用周期卷积计算循环卷积 ○ 先计算两序列的周期卷积（列表法，参见例3.2.3），再对卷积结果取其主值区间（n=0~N-1）内的值即可。 2利用循环卷积计算线性卷积 ○ I. 用循环卷积代替线性卷积的条件 设两个有限长序列x(n)、h(n)的点数分别为N和M，其循环卷积的长度为L，则要用循环卷积代替线性卷积的条件是：循环卷积的长度必须不小于线性卷积的长度+M-1，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．L．．．．．．．．．．．．．N．．．．． - 3-8 - 搜索更多关于： 第三章 傅里叶分析 的文档
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