第三章 傅里叶分析

第3章 傅里叶分析

3.1 傅里叶变换概述

一、 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT）

其傅里叶变换公式为： 正变换 X(j?)??????x(t)e?j?tdt

X(j?)ej?td?

1反变换 x(t)?2????

时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。 二、 时间连续、频率离散的傅里叶变换——傅里叶级数（FS）

周期为T的周期性连续时间函数x(t)可展开成傅里叶级数，其系数为X(jkΩ0)，X(jkΩ0)是离散频率的非周期函数。x(t)和X(jkΩ0)组成变换对，其变换公式为： 正变换 X(jk?0)??1T?T/2?T/2x(t)e?jk?0tdt

反变换 x(t)?k????X(jk?0)ejk?0t

式中，k——谐波序号；

Ω0=2π/T——两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔；

时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。 三、 时间离散、频率连续的傅里叶变换——序列的傅里叶变换（DTFT） 1. DTFT的定义

序列的傅里叶变换公式为： 正变换 X(ej?)?12?n????x(n)e?????j?n

反变换 x(n)??X(ej?)ej?nd?

注意：序列只有当为整数时才有意义，否则没有定义。 ．．x(n)．．．．．．．n．．．．．．．．．．．．．．．．．

由于存在关系

DTFT[x(n)]?X(ej?)?X(z)z?ej?

因此，序列的傅里叶变换也就是单位圆上的Z变换。

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时域的离散化造成频谱函数的周期性延拓，而时域的非周期性造成频域的连续性。 2. DTFT的性质 （1） 线性定理

DTFT[ax1(n)?bx2(n)]?aX1(ej?)?bX2(ej?)

（2） 时移定理

DTFT[x(n?n0)]?e?j?n0X(ej?)

（3） 频移定理

DTFT[x(n)ej?0n]?X(ej(???0))

（4） 卷积定理

注意：此处的卷积又称为线性卷积。 ．．．．．．．．．．．．．

I. 时域卷积定理

若y(n)?x(n)?h(n)，则Y(ej?)?X(ej?)H(ej?) 复习：序列的运算

序列的运算包括翻褶、移位、和、积等。 （a） 翻褶

如果序列为x(n)，则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。 （b） 移位

如果序列为x(n)，当m为正时，则序列x(n+m)是指将序列x(n)依次逐项左移m位；当m为负时，则右移m位。 （c） 和

两序列的和是指同序号（n）的序列值逐项对应相加。 （d） 积

两序列的积是指同序号（n）的序列值逐项对应相乘。 线性卷积的几何意义： ．．．．．．．．．

若两序列x(n)和h(n)的卷积和定义为

?y(n)?x(n)?h(n)?m????x(m)h(n?m)

则卷积的运算过程包含以下四步：

1翻褶：先在坐标系上作出h(m)，将h(m)以m=0的纵轴为对称轴翻褶成h(-m)； ○

2移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)； ○

注意： h(．-m) 与(m)的移位规律恰好相反，当为正时，则右移位；当为负时，则左．．．．．h．．．．．．．．．．．．．．．n．．．．．．．．n．．．．n．．．．．．．移位。 ．n．．．

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3相乘：再将相同m值所对应的h(n-m)和x(m)值相乘； ○

4相加：将上述所有对应点的乘积叠加，即得y(n)值； ○

依次取n=?，-2，-1，0，1，2，?，即可得到全部的y(n)值。

II. 频域卷积定理

若y(n)?x(n)h(n)，则

11Y(e)?X(ej?)?H(ej?)?2?2?j???X(e??j?)H(ej(???))d?

上述两个定理表明：离散时间序列的时域卷积对应频域相乘，而时域相乘则对应其频域卷积。

（5） Parseval（帕塞瓦）定理

n????x(n)??212?????X(ej?)d?

2Parseval定理表明：信号在时域的总能量就等于其频域的总能量。 四、 时间离散、频率离散的傅里叶变换——离散傅里叶变换（DFT）

结论：一个域（时域或频域）的离散化必然造成另一个域的周期延拓。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

3.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS）

一、 DFS的定义 1. 周期序列的概念

x(n)是周期为N的一个周期序列，即 设~~x(n)?~x(n?rN)， r为任意整数

因为在任何z值下，周期序列z变换的和式都不收敛，也就是说，周期序列不是绝对可

和的，所以不能用z变换表示。

但是，和连续时间周期信号一样，周期序列可以用离散傅里叶级数来表示，也就是用周期为N的复指数序列来表示。

2. 周期序列的离散傅里叶级数变换对

（1） 数学推导（略，参见教材P98~99） （2） 结论

x(n)与其离散傅里叶级数的系数X(k)组成一个变换对，且通过推导可见，周期序列~~~X(k)也是一个周期为N的周期序列。

一般，采用符号

2?N2?knNWN?e?j，WknN?e?j

则周期序列的离散傅里叶级数变换公式为：

N?1~kn~正变换 X(k)?DFS[x(n)]??~ x(n)WNn?01N?1~~?kn~反变换 x(n)?IDFS[X(k)]? X(k)W?NNk?0- 3-3 -

kn3. WN的性质

（1） 周期性

kn(k?N)nk(n?N) WN?WN?WN（2） 对称性

?knkn?(N?k)nk(N?n) WN?(WN)?WN?WN（3） 正交性（重点强调）

?1，1N?1knW??(k?mN)???NNn?0?0，二、 DFS的性质

k?mN，m为任意整数

k为其他值x(n)和~y(n)均是周期为N的周期序列，且有 设~~~X(k)?DFS[~x(n)]，Y(k)?DFS[~y(n)]

1. 线性性质

~~DFS[a~x(n)?b~y(n)]?aX(k)?bY(k)

2. 移位性质

?mk~DFS[~x(n?m)]?WNX(k) （时移）

~nl~DFS[WNx(n)]?X(k?l) （频移，又称调制特性）

3. 周期卷积

（1） 时域卷积

N?1~△~~*x(n)?若f(n)=y(n)○x(m)~y(n?m)?~m?0换元令n?m?km?0~~y(m)x(n?m)，则 ??N?1~~~~F(k)?DFS[f(n)]?X(k)?Y(k)

1注意：此处的卷积为周期卷积。它和前面所介绍的非周期序列的线性卷积的区别在于：○．参．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

与周期卷积运算的两个序列都是周期为结果仍是一个以．．．．．．．．．．．．．．．．．N．的周期序列，则其卷积．．．．．．．．．．．．．．．．．N．为周期．．．

2的周期序列；○m=0~N-1）的范围内进行。 ．求和运算只在一个周期（．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．周期卷积的运算过程（参见图3.2.2）：

运算在m=0~N-1区间内进行，先计算出n=0，1，?，N-1的卷积结果，然后将所得的结果进行周期延拓，即可得到所求的整个周期序列。

注意：计算过程中，一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．的序列值就移入计算区间。 ．．．．．．．．．．．．

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