不等式易错题分析

不等式易错题分析

一、解一元二次不等式的易错题

（一）、随意消项致误

例题1：解不等式; (x2?4x?4)(x2?4x?3)?0 错解：原不等式可化为：(x?2)2(x?1)(x?3)?0 解得?(x?2)2?0,?(x?1)(x?3)?0 所以x?3或x?1

原不等式的解集为：?x|x?3或x?1?

剖析：错误是由于随意消项造成的，事实上，当(x?2)2?0时，原不等式亦成立 正解：原不等式可化为：x?2?0且(x?1)(x?3)?0或(x?2)?0

解得x?3或x?1或x=2

所以原不等式的解集为：?x|x?3或x?1或x=2? （二）、函数不清致误

例题2：已知函数y?(m2?4m?5)x2?4(1?m)x?3的图像都在x轴的下方，求实数m的取值范围。

错解：，依题意，对x?R,y?0恒成立，于是函数的图像开口方向向上，且图像

2?m??4m?5?0与x轴无交点。故? 223(m?4m?5)?0?????4(1?m)??4?解得1?m?19

即所求m的取值范围为1?m?19

剖析：题设中的函数未必时二次函数，也就是说缺少对m2?4m?5是否为0的讨论。

正解：当m2?4m?5?0时，同上述解答有1?m?19， 若m2?4m?5?0时，则m=1或m=5

若m=1，,则已知函数化为y?3，则对x?R,y?0恒成立；

若m=5，则已知函数化为y?24x?3，对x?R,y?0不恒成立，故此情形舍去。 所以m的取值范围为1?m?19

1

（三）、漏端点致误

例题3：已知集合A??x|x2?x?2?0?,B??x|a?a?3?，且A?B??，则实数a的取值范围是____________

错解：A??x|x2?x?2?0???x|?1?x?2?

若使A?B??，需满足a?2或a?3??1，解得a?2或a??4，所以实数a的取值范围是a?2或a??4。

剖析：上面的解法错误原因在于忽视了集合A??x|?1?x?2?的两个端点值-1和2，其实当a?2时B??x|2?x?5?，满足A?B??；当a?3??1时，即a??4时也满足A?B??。

正解：A??x|x2?x?2?0???x|?1?x?2?若使A?B??，需满足

a?2或a?3??1，解得a?2或a??4，所以实数a的取值范围是a?2或a??4。 (四)、条件非充要致误

例题4：若方程x2?(m?2)?5?m?0的两根均大于2，求实数m的取值范围。

?(m?2)2?(5?m)?0???0??错解：设两根为x1,x2，则有题意可得：?x1?x2?4??2?m?4

?x?x?4?5?m?4?12?解得m??4

剖析：错在x1?x2?4且x1?x2?4与x1?2且x2?2不等价，事实上，由后者可以推出前者，但是由前者却推不出后者。 正

解

：

设

两

根

为

x1,x2，则有题意可得：

?(m?2)2?(5?m)?0???0?? ?(x1?2)?(x2?2)?0??2?m?4?(x?2)?(x?2)?0?5?m?4?12?解得?5?m??4

二基本不等式的易错题

（一）、忽视条件——正数

例题5：已知x,y?R，且x?y?1，求证xy?错解：由基本不等式得x?y?2xy 1 4 2

?xy?(x?y21)? 24剖析：公式x?y?2xy的使用的前提条件时x,y均为正数，错解忽视了这个前提条件

正解：1?(x?y)2?x2?y2?2xy?2xy?2xy

当且仅当x?y时取“=”

1 4（二）忽视条件二——定值

?xy?a2b2????2的最小值。 例题:6：若???0,?,a?b?0，求f(?)?2cos?sin?2??a2b2a2b22ab错解：f(?)? ??2??2222cos?sin?cos?sin?sin?cos?ba2b2tan???当且仅当，即 22acos?sin?此时

2ab4ab4ab???2(a2?b2)

2tan?sin?cos?sin2?1?tan2?a2b222???2(a?b) 22cos?sin?即?f(?)?min?2(a?b)

22剖析：使用基本不等式求函数的最值时，需验证“一正二定三相等”的条件，上述解法违背了第二条“二定值”要求???0,?????内的任意一个值时不等式的右边均为定值。 2?a2b2?2 正解：f(?)?2cos?sin?1)2tan?b22222?a?b?(atan??)

tan2??a2?b2?2ab?(a?b)2?a2(1?tan2?)?b2(1?b2b当且仅当atan??，即当时， tan??tan2?a22 3

所以f(?)的最小值为(a?b)2

（三）、忽视条件三——相等 1、忽视等号是否成立 例题7：求函数y?x2?5x?4?2的最小值。

错解：函数y?x2?5x?42x2?4?1x?42?x2?4?1x?42?2

所以函数的最小值为2。

剖析：使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即

上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的。 a?b?2ab，只有a?b才能取等号。正解：y?x2?5x?42?x2?4?1x?42?x2?4?1x?42 t=x2?4?2,

1y?t?在t?2时是单调递增的，

t115?y?t??2??

t225故函数的最小值是

22、多次使用，忽视等号是否同时成立

例题8：已知两个正实数x,y，满足x?y?4，求

14?的最小值 xy错解：由已知得4?x?y?2xy?xy?4

1444??2??2 xyxyxy所以

14?最小值是2 xy剖析：上述解法中两次使用基本不等式，其中xy?4等号成立必须满足x?y，而

144??2的等号成立时，必须有4x?y，因为均为正数，所以两个等号不会同时成xyxy立，所以上述解法是错误的。

4

正解：?4(1?4y)?(x?y)?(144xyxx?y)?5?y?x?9 当且仅当

1x?4

y

且x?y?4， 即x?43,y?83时取等号， ?1x?4y?94 即

1x?4y最小值为94

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