当前位置：首页 > 《数值分析简明教程》第二版[王能超编著]课后习题答案解析高等教育出版社
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y?y?(2)y'????x?x?
2(1?x?1.2)，y(0)?1，取h?0.2；
2222【解】 （1）yn?1?yn?hy'n?yn?h(xn?yn)?yn?0.2?(xn?yn)；
（2）yn?122ynynyny?yn?h(2?)?yn?0.2?(2?n)。
xnxnxnxn2、（p.124，题2）取h?0.2，用欧拉方法求解初值问题y'??y?xy(0?x?0.6)，
2y(0)?1。
22【解】欧拉格式：yn?1?yn?hy'n?yn?h(?yn?xnyn)?yn?0.2?(?yn?xnyn)；化2简后，yn?1?0.8yn?0.2xnyn，计算结果见下表。
n xn yn 0 0.0 1.0 1 0.2 0.8 2 0.4 0.6144 3 0.6 0.4613 3、（p.124，题3）取h?0.1，用欧拉方法求解初值问题y'?12?2y(0?x?4)，21?xy(0)?0。并与精确解y?2x1比较计算结果。 21?x1122?2y)?y?0.2?(?2y)；nnn221?xn1?xn【解】欧拉格式：yn?1?yn?hy'n?yn?h(化简后，yn?1?yn?0.4yn?20.2，计算结果见下表。 21?xn 1、（p.124，题7）用改进的欧拉方法求解上述题2，并比较计算结果。
【解】 因为y'?f(x,y)??y?xy(0?x?0.6)，h?0.2，且y(0)?1，则改进的欧拉公式：
2?22?yp?yn?hf(xn,yn)?yn?h(?yn?xnyn)?0.8yn?0.2xnyn?22?yc?yn?hf(xn,yp)?yn?h(?yp?xnyp)?yn?0.2?(yp?xnyp)。 ?(yp?yc)?yn?1?2? 学习指导参考资料
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计算结果见下表。
n xn yp yc yn 与原结果比较见下表 0 0.0 1.0 0.76 0.88 1 0.2 0.6730 0.7092 0.6911 2 0.4 0.5147 0.5564 0.5356 3 0.6 0.3941 0.4319 0.413 n xn yn yn(改进)
0 0.0 1.0 0.88 1 0.2 0.8 0.6911 2 0.4 0.6144 0.5356 3 0.6 0.4613 0.413 3.3 龙格-库塔方法
1、（p.124，题11）用四阶经典的龙格-库塔方法求解初值问题y'?8?3y，y(0)?2，试取步长h?0.2计算y(0.4)的近似值，要求小数点后保留4位数字。
【解】 四阶经典的龙格-库塔方法公式：
?h?yn?1?yn?(K1?2K2?2K3?K4)6??K?f(x,y)nn?1h?； ?K2?f(xn?1,yn?K1)22??h?K3?f(x1,yn?K2)n?2?2?K?f(x,y?hK)n?1n3?4列表求得y(0.4)如下：
n 0 1 2 xn 0.0 0.2 0.4 yn 2.000 2.3004 2.4654 学习指导参考资料
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4.1 迭代法及收敛定理
1、（p.153，题1）试取x0?1，用迭代公式xk?1?32202xk?2xk?10(k?0,1,2,?)，求
方程x?2x?10x?20?0的根，要求准确到10。
【解】 迭代计算结果列于下表 ?3k 1 2 3 4 5 xk 1.53846 1.29502 1.40182 1.35421 1.37530 |xk-xk-1| 0.53846 0.24344 0.10680 0.04761 0.02109 <0.001 k N N N N N 6 7 8 9 xk 1.36593 1.37009 1.36824 1.36906 |xk-xk-1| <0.001 0.00937 0.00416 0.00185 0.00082 N N N Y ?3?因为|x9?x8|?0.00082?10，所以x?x9?1.36906。
2、（p.153，题2）证明方程x?代过程xk?1?1cosx有且仅有一实根。试确定这样的区间[a,b]，使迭21cosxk对x0?[a,b]均收敛。 21111【证明】设：g(x)?cosx，则当x?R时，g(x)?cosx?[?,]，且一阶导数
22221111g'(x)??sinx连续， |g'(x)|?|?sinx|??1，所以迭代过程xk?1?cosxk对
22221x0?R均收敛。（压缩映像定理），方程x?cosx有且仅有一实根。<证毕>
23、（p.153，题4）证明迭代过程xk?1?xk1?对任意初值x0?1均收敛于2。 2xk【证明】设：g(x)?x1x1x1??2，对于任意x?1，因为??2所以g(x)?2。?，
2x2x2x一阶导数g'(x)?x1111?2??1， 根据压缩映像定理，迭代公式xk?1?k?对任意
2x2x2kxk1?两边取极限，则有2xk?初值x0?1均收敛。假设limxk?x，对迭代式xk?1?k??x?1x???，则x?2x???2?2，解得x???2，因x???2不在x?1范围内，须舍去。
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故x??2。<证毕>
4.2 牛顿迭代法
1、（p.154，题17）试用牛顿迭代法求下列方程的根，要求计算结果有4位有效数字：
3（1）x?3x?1?0，x0?2 2x（2）x?3x?e?2?0，x0?1
【解】 （1）设f(x)?x?3x?1，则f'(x)?3x?3，牛顿迭代公式：
32xk?133f(xk)xk?3xk?12xk?1?xk??xk??22f'(xk)3xk?33(xk?1)(k?0,1,2,?)，迭代计算过|xk-xk-1| <0.0001 0.00006 Y 程见下列表。 k xk |xk-xk-1| <0.0001 k 0.11111 0.00944 2xxk 1.87939 x1 1.88889 2 1.87945
N N 3 ?4?因为|x3?x2|?0.00006?10，所以x?x3?1.879。
（2）设f(x)?x?3x?e?2，则f'(x)?2x?3?e，牛顿迭代公式：
xk?122f(xk)xk?3xk?exk?2xk?exk(xk?1)?2?xk??xk??xkf'(xk)2xk?3?e2xk?3?exk(k?0,1,2,?)，迭代计算过程见下列表。 k xk |xk-xk-1| <0.0001 k 0.73106 0.01155 N N 3 4 xk 0.25753 0.25753 |xk-xk-1| <0.001 0.00014 0.00000 N Y 1 0.26894 2 0.25739
?4?因为|x3?x2|?0.00000?10，所以x?x4?0.2575。
32、（p.154，题18）应用牛顿法于方程x?a?0，导出求立方根3a(a?0)的迭代公式，
并证明该迭代公式具有二阶收敛性。
【证明】（1）设：f(x)?x?a，则f'(x)?3x，对任意x?0，牛顿迭代公式
32xk?133f(xk)xk?a2xk?a k?0,1,2,? ?xk??xk??22f'(xk)3xk3xk2x3?a(x?0) （2）由以上迭代公式，有：limxk?x?a。设 g(x)?2k??3x?3g(x?)?x?；g'(x?)?2a2a(1?3)?0；g''(x?)?43xx?3ax?x?a323a。
xk?1?x??g(xk)?g(x?)?g'(x?)(xk?x?)?g''(?)(xk?x?)2 2! 学习指导参考资料
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