2019年浙江省中考数学（浙教版）复习题：方法技巧专题10 最短距离训练（含答案）

方法技巧专题(十) 最短距离训练

【方法解读】探究平面内最短路径的原理主要有以下两种:一是“垂线段最短”,二是“两点之间,线段最短”.立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题.求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段.

1.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图F10-1,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为

( )

图F10-1

A.(3,1) C.(3, )

B. (3,)

D.(3,2)

2

2

2

2

2.[2018·宜宾] 在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB+AC=2AO+2BO成立.依据以上结论,解决如下问题:如图F10-2,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF+PG的最小值为

( )

图F10-2

A. C.34

B.

D.10

2

2

3.[2017·天津] 如图F10-3,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是 ( )

图F10-3

A.BC

B.CE

C.AD

D.AC

4.[2017·莱芜] 如图F10-4,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角

线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是 ( )

图F10-4

A.

B.

C.

D.

5.[2017·乌鲁木齐] 如图F10-5,点A(a,3),B(b,1)都在双曲线y= 上,点C,D分别是x轴、y轴上的动点,则四边形ABCD周长的最小值为 ( )

图F10-5

A.5

B.6 D.8 C.2 +2

6.[2018·泰安] 如图F10-6,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为 ( )

图F10-6

A.3 C.6

B.4

D.8

7.[2018·滨州] 如图F10-7,∠AOB=60°,点P是∠AOB内的定点且OP= ,若点M,N分别是射线OA,OB上异于点O的动点,则△PMN周长的最小值是 ( )

图F10-7

A.

B.

C.6 D.3

2

8.[2018·遵义] 如图F10-8,抛物线y=x+2x-3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP,PC的中点,连结DE,DF,则DE+DF的最小值为 .

图F10-8

9.[2018·黑龙江龙东] 如图F10-9,已知正方形ABCD的边长为4,点E是AB边上一动点,连结CE.过点

B作BG⊥CE于点G.点P是AB边上另一动点,则PD+PG的最小值为 . 图F10-9

10.[2018·广安改编] 如图F10-10,已知抛物线y=x+bx+c与直线y=x+3相交于A,B两点,交x轴于

2

C,D两点,连结AC,BC,已知A(0,3),C(-3,0).

(1)求此抛物线的解析式;

(2)在抛物线的对称轴l上找一点M,使|MB-MD|的值最大,并求出这个最大值.

图F10-10

11.[2018·广州] 如图F10-11,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB>CD,AD=AB+CD. (1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连结AE(保留作图痕迹,不写作法); (2)在(1)的条件下, ①证明:AE⊥DE;

②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.

图F10-11

参考答案

1.B [解析] 如图,作点D关于直线AB的对称点H,连结CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D(,0),A(3,0),

∴H(,0),

可求得直线CH的解析式为y=- x+4. 当x=3时,y= ,∴点E的坐标为(3, ).故选B.

2.D [解析] 取GF的中点O,连结PO,则根据材料可知PF+PG=2PO+2OG=2PO+2×2=8+2OP,若使

2

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2

2

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PF2+PG2的值最小,则必须OP的值最小,所以PO垂直于GF时PO的值最小,此时PO=1,所以PF2+PG2的最

小值为10.故选D.

3.B [解析] 连结PC.由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根据“等腰三角形的三线合一性质”可知点

B与点C关于直线AD对称,BP=CP,因此BP+EP的最小值为CE.故选B.

4.A [解析] 如图,连结BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此时PB+PM的值最小.过点D作DF⊥

BC于点F,过点M作ME∥BD交AC于点E .

∵∠ABC=120°,

∴∠BCD=60°.又∵DC=BC,∴△BCD是等边三角形. ∴BF=CF= BC=3.

∴MF=CF-CM=3-2=1,DF= BF=3 . ∴DM= =2 . ∵ME∥BD,∴△CEM∽△COB. ∴ = = = . 又∵OB=OD,∴ = .