2020-2021学年江苏省南通市、扬州市、泰州市高考数学二模试卷及答案解析

距离分别为1，3，

可得平行线m、n间的距离为2，

以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴 建立坐标系，如图所示：

则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2， 设点B（a，0）、点C（b，﹣2）， ∴∴∵

当a+b=3时，

=（a，﹣1）、+

=（b，﹣3），

=（a+b，﹣4）．

，∴（a+b）+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．

=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a+3a+3，它的最大值为

2

2

2

=．

当a+b=﹣3时，综上可得，故答案为：

．

=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a﹣3a+3，它的最大值为 的最大值为

，

=．

13．实数x，y满足

﹣y=1，则3x﹣2xy的最小值是 6+4

2

2

．

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设出双曲线的参数方程，代入所求式，运用切割化弦，可得﹣sinα）+（1+sinα）]（【解答】解：由

2

2

2

+= （[1

+），展开再由基本不等式即可得到所求最小值．

﹣y=1，可设x=2secα，y=tanα，

则3x﹣2xy=12secα﹣4secαtanα =

﹣

=

=+，

其中﹣1＜sinα＜1， [（1﹣sinα）+（1+sinα）]（=12+≥12+2当且仅当解得sinα=3﹣2

2

+

）

+=12+8

， =（3+2

，

舍去），取得最小值． ．

则3x﹣2xy的最小值是6+4故答案为：6+4

14．若存在α，β∈R，使得

．

，则实数t的取值范围是 [，1] ．

【考点】三角函数中的恒等变换应用．

【分析】由α≤α﹣5cosβ，得到cosβ＜0，由已知α≤t，即

，令

，

则f′（t）=，令f′（t）=0，则sinβ=0，当sinβ=0时，f（t）取得

最小值，然后由t≤α﹣5cosβ，即，令，

则

f（t）取得最大值．

【解答】解：∵α≤α﹣5cosβ， ∴0≤﹣5cosβ．∴cosβ＜0． ∵α≤t，∴

，即

．令f′（t）=0，则sinβ=0．当sinβ=0时，

．

令，则f′（t）=

=

令f′（t）=0，则sinβ=0．

，

∴当sinβ=0时，f（t）取得最小值．f（t）=∵t≤α﹣5cosβ，∴α≥t+5cosβ． ∴

即

．

．

令

令f′（t）=0，则sinβ=0．

，则．

当sinβ=0时，f（t）取得最大值．f（t）=则实数t的取值范围是：[故答案为：[

二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．在斜三角形ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1． （1）求C的值； （2）若A=15°，

，求△ABC的周长． ，1]．

，1]．

．

【考点】两角和与差的正切函数；正弦定理．

【分析】（1）由条件利用两角和差的正切公式，诱导公式求得tanC的值可得C的值． （2）由条件利用正弦定理、两角和差的正弦公式求得a、b的值，可得△ABC的周长． 【解答】解：（1）斜三角形ABC中，∵tanA+tanB+tanAtanB=1，∴tanA+tanB=1﹣tanAtanB， ∴tan（A+B）=

（2）若A=15°，则B=30°， ∵

，则由正弦定理可得

=

=

=2，

=1，即﹣tanC=1，tanC=﹣1，∴C=135°．

求得a=2sin（45°﹣30°）=2（sin45°cos30°﹣cos45°sin30°）=b=?2=1，

故△ABC的周长为a+b+c=

+1+

=

．

，

16．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点． 求证：（1）AP∥平面C1MN； （2）平面B1BDD1⊥平面C1MN．

【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．

【分析】（1）推导出四边形AMC1P为平行四边形，从而AP∥C1M，由此能证明AP∥平面C1MN． （2）连结AC，推导出MN⊥BD，DD1⊥MN，从而MN⊥平面BDD1B1，由此能证明平面B1BDD1⊥平面C1MN．

【解答】证明：（1）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，