（全国通用版）2020年中考数学复习 专题复习（五）函数的实际应用题练习

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专题复习(五) 函数的实际应用题

类型1 一次函数的图象信息题

1．求函数解析式的方法有两种：一种是直接利用两个变量之间的等量关系建立函数模型；另一种是采用待定系数法，用待定系数法解题，先要明确解析式中待定系数的个数，再从已知中得到相应个数的独立条件(一般来讲，最直接的条件是点的坐标)，最后代入求解．当解析式中的待定系数只有一个时，代入已知条件后会得到一个一元一次方程；当解析式中的待定系数为两个或两个以上时，代入独立条件后会得到方程组．正因如此，能正确地解方程(组)成为运用待定系数法求解析式的前提和基础．

2．用函数探究实际中的最值问题，一种是对于一次函数解析式，分析自变量的取值范围，得出最值问题的答案；另一种是对于二次函数解析式，首先整理成顶点式，然后结合自变量取值范围求解，最值不一定是顶点的纵坐标，画出函数在自变量取值范围内的图象，图象上的最高点的纵坐标是函数的最大值，图象上的最低点的纵坐标是函数的最小值．

3．在组合函数中，若有一个函数是分段函数，则组合后的函数也必须分段．

1．(2018·吉林)小玲和弟弟小东分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小玲开始跑步中途改为步行，到达图书馆恰好用30 min.小东骑自行车以300 m/min的速度直接回家，两人离家的路程y(m)与各自离开出发地的时间x(min)之间的函数图象如图所示：

(1)家与图书馆之间的路程为4__000 m，小玲步行的速度为100m/min； (2)求小东离家的路程y关于x的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (3)求两人相遇的时间．

解：(1)结合题意和图象可知，线段CD为小东路程与时间的函数图象，折线O—A—B为小玲路程与时间的函数图象，

则家与图书馆之间路程为4 000m，小玲步行速度为(4 000－2 000)÷(30－10)＝100 m/min. 故答案为：4 000，100.

(2)∵小东从离家4 000 m处以300 m/min的速度返回家， 则x min时，他离家的路程y＝4 000－300x，

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自变量x的范围为0≤x≤. 3

(3)当x＝10时，y玲＝2 000，y东＝1 000，即两人相遇是在小玲改变速度之前， ∴令4 000－300x＝200x，解得x＝8. ∴两人相遇时间为第8分钟．

2．(2018·成都)为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲

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种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元．

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(1)直接写出当0≤x≤300和x＞300时，y与x的函数关系式；

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(2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1 200 m，若甲种花卉的种植面积不少于200 m，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？

解：(1)y＝{130x（0≤x≤300），80x＋15 000（x＞300）.

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(2)设甲种花卉种植为a m，则乙种花卉种植(1 200－a)m. ∴a≤2(1 200－a)，解得a≤800. 又a≥200，∴200≤a≤800. 当200≤a＜300时，

W1＝130a＋100(1 200－a)＝30a＋120 000. 当a＝200 时．Wmin＝126 000 元；

当300≤a≤800时，W2＝80a＋15 000＋100(1 200－a)＝135 000－20a. 当a＝800时，Wmin＝119 000 元． ∵119 000＜126 000，

∴当a＝800时，总费用最少，最少总费用为119 000元．

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此时乙种花卉种植面积为1 200－800＝400(m)．

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答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800 m 和400 m，才能使种植总费用最少，最少总费用为119 000元．

类型2 一次函数与方程或不等式的综合运用

1．(2018·武汉)用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A，B型钢板共100块，并全部加工成C，D型钢板．要求C型钢板不少于120块，D型钢板不少于250块，设购买A型钢板x块(x为整数)．

(1)求A，B型钢板的购买方案共有多少种？

(2)出售C型钢板每块利润为100元，D型钢板每块利润为120元．若将C，D型钢板全部出售，请你设计获利最大的购买方案．

解：(1)设购买A型钢板x块，则购买B型钢板(100－x)块，根据题意，得 {2x＋（100－x）≥120，x＋3（100－x）≥250， 解得20≤x≤25. ∵x为整数，∴x＝20，21，22，23，24，25共6种方案， 即A，B型钢板的购买方案共有6种． (2)设总利润为w，根据题意，得

w＝100(2x＋100－x)＋120(x＋300－3x)＝100x＋10 000－240x＋36 000＝－140x＋46 000， ∵－140＜0，∴w随x的增大而减小．

∴当x＝20时，wmax＝－140×20＋46 000＝43 200.

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即购买A型钢板20块，B型钢板80块时，获得的利润最大．

2．(2018·潍坊)为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B两种型号的挖掘机，已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元．

(1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？

(2)若不同数量的A型和B型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1 080立方米的挖土量，且总费用不超过12 960元，问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？

解：(1)设每台A型，B型挖掘机一小时分别挖土x立方米和y立方米，根据题意，得 {3x＋5y＝165，4x＋7y＝225，解得{x＝30，y＝15.

答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米． (2)设A型挖掘机有m台，总费用为W元，则B型挖掘机有(12－m)台．根据题意，得 W＝4×300m＋4×180(12－m)＝480m＋8 640.

∵{4×30m＋4×15（12－m）≥1 080，4×300m＋4×180（12－m）≤12 960， ∴{m≥6，m≤9.

∵m≠12－m，解得m≠6，∴7≤m≤9. ∴共有三种调配方案，即

方案一：当m＝7时，12－m＝5，即A型挖掘机7台，B型挖掘机5台； 方案二：当m＝8时，12－m＝4，即A型挖掘机8台，B型挖掘机4台； 方案三：当m＝9时，12－m＝3，即A型挖掘机9台，B型挖掘机3台． ∵480＞0，由一次函数的性质可知，W随m的减小而减小， ∴当m＝7时，W小＝480×7＋8 640＝12 000(元)．

当A型挖掘机7台，B型挖掘机5台时的施工费用最低，最低费用为12 000元．

3．(2018·恩施)某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39 000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6 000元．

(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；

(2)若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217 000元，该校共有哪几种采购方案？

(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？ 解：(1)设A型空调和B型空调每台各需x元，y元，根据题意，得 {3x＋2y＝39 000，4x－5y＝6 000，解得{x＝9 000，y＝6 000. 答：A型空调和B型空调每台各需9 000元，6 000元．

(2)设购买A型空调a台，则购买B型空调(30－a)台，根据题意，得 ?11?a≥（30－a），9 000a＋6 000（30－a）≤217 000，解得10≤a≤12. 23?

∴a＝10，11，12，共有三种采购方案，即

方案一：采购A型空调10台，B型空调20台； 方案二：采购A型空调11台，B型空调19台：

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方案三：采购A型空调12台，B型空调18台． (3)设总费用为w元，则

w＝9 000a＋6 000(30－a)＝3 000a＋180 000， ∴当a＝10时，w取得最小值，此时w＝210 000，

即采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210 000元．

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