2020徐州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷含答案解析

（2）根据∠ADC+∠BCD=180°求出sin∠BCD，cos∠BCD，在△BCD中使用余弦定理解出BC，则S△BCD=

．

，cos∠ADC=﹣

．

【解答】解：（1）∵tan∠ADC=﹣2，∴sin∠ADC=

∴sin∠ACD=sin（∠CAD+∠ADC）=sin∠CADcos∠ADC+cos∠CADsin∠ADC=

=

．

在△ACD中，由正弦定理得

解得CD=．

（2）∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°， ∴sin∠BCD=sin∠ADC=

，即，

，cos∠BCD=﹣cos∠ADC=．

在△BCD中，由余弦定理得BD2=CD2+BC2﹣2BC?CDcos∠BCD， 即40=5+BC2﹣2BC，解得BC=7或BC=﹣5（舍）． ∴S△BCD=BC?CDsin∠BCD=

=7．

16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC，M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点．求证：

（1）平面AMP⊥平面BB1C1C； （2）A1N∥平面AMP．

【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【分析】（1）由已知条件推导出AM⊥BC，AM⊥BB1，从而AM⊥平面BB1C1C，由此能证明平面AMP⊥平面BB1C1C．

（2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，推导出平面A1NE∥平面APM，由此能证明A1N∥平面AMP． 【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC，M是BB1的中点， ∴AM⊥BC，AM⊥BB1， ∵BC∩BB1=B，

∴AM⊥平面BB1C1C，

∵AM?平面AMP，∴平面AMP⊥平面BB1C1C． （2）取B1C1中点E，连结A1E、NE、B1C，

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∵M，N，P分别为BC，CC1，BB1的中点， ∴NE∥BC1∥PM，A1E∥AM，

∵PM∩AM=M，A1E∩NE=E，PM、AM?平面APM，A1E、NE?平面A1EN， ∴平面A1NE∥平面APM，

∵A1N?平面A1NE，∴A1N∥平面AMP．

17．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（1，）在椭圆C：

=1（a＞b＞0）上，

P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4． （1）求椭圆C的方程；

（2）若点M，N是椭圆C上的两点，且四边形POMN是平行四边形，求点M，N的坐标．

【考点】椭圆的简单性质．

【分析】（1）由点P（1，）在椭圆上，P到椭圆C的两个焦点的距离之和为4，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．

（2）由题意设直线AB：y=

，A（x1，y1），B（x2，y2），联立

，消去y，

得：3x2+3mx+m2﹣3=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形性质，结合已知条件能求出M、N的坐标．

【解答】解：（1）∵点P（1，）在椭圆C：个焦点的距离之和为4，

=1（a＞b＞0）上，P到椭圆C的两

∴，解得a=2，b=，

∴椭圆C的方程为．

（2）由题意设直线MN：y=

，M（x1，y1），N（x2，y2），

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联立

，消去y，得：3x2+3mx+m2﹣3=0，

△＞0，

∵四边形POMN是平行四边形， ∴|MN|=

=

，

，解得m=±3，

当m=3时，解方程：3x2+9x+6=0，得M（﹣1，），N（﹣2，0）； 当m=﹣3时，解方程：3x2﹣9x+6=0，得M（1，），N（2，6）．

18．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）百元时，该商品的月供给量为y1万吨，y1=ax+a2﹣a（a＞0）；月需求量为y2万吨，y2=﹣

x2﹣

x+1．当该商品的需求

量大于供给量时，销售量等于供给量；当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量．该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．

（1）若a=，问商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？

（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6百元，求实数a的取值范围．

【考点】函数模型的选择与应用． 【分析】（1）利用商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积，分类讨论，即可求解商品的价格为多少时，该商品的月销售额最大？ （2）设f（x）=y1﹣y2=ax+a2﹣a﹣（﹣

x2﹣

x+1）=

x2+（

+a）x+a2﹣a

﹣1，因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点，即可得出结论． 【解答】解：（1）若a=，y1=x﹣y2＞y1，即﹣﹣

，

）x，在（1，6）上单调递增，（ x﹣

）x＜

；

x2﹣

x+1＞x﹣

，

，∵1＜x＜14，∴1＜x＜6，月销售量为y1=x

商品的月销售额等于（x﹣y2≤y1，即﹣x2﹣

x+1，

x2﹣

x+1≤x﹣

，∵1＜x＜14，∴6≤x＜14，月销售量为y2=﹣

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商品的月销售额等于y=（﹣

x2﹣

x+1）x，y′=﹣（x﹣8）（3x+28），

＞

，

∴函数在（6，8）上单调递增，（8，14）上单调递减，x=8时，取得最大值∴商品的价格为8元时，该商品的月销售额最大； （2）设f（x）=y1﹣y2=ax+a2﹣a﹣（﹣

x2﹣

x+1）=

x2+（

+a）x+a2﹣a

﹣1

因为a＞0，所以f（x）在区间（1，14）上是增函数，

若该商品的均衡价格不低于6百元，即函数f（x）在区间[6，14）上有零点， 所以f（6）≤0，f（14）＞0， 所以0＜a≤．

19．已知函数f（x）=

，g（x）=ax﹣2lnx﹣a （a∈R，e为自然对数的底数）．

（1）求f（x）的极值；

（2）在区间（0，e]上，对于任意的x0，总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2）=f（x0），求a的取值范围．

【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出f（x）的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；

（2）求出当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域，通过讨论a的范围结合g（x）的单调性，求出a的具体范围即可． 【解答】解：（1）因为f（x）=

，所以f′（x）=

，…

令f′（x）=0，得x=1． …

当x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数； 当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．

所以f（x）在x=1时取得极大值f（1）=1，无极小值． …

（2）由（1）知，当x∈（0，1）时，f（x）单调递增；当x∈（1，e]时，f（x）单调递减．

又因为f（0）=0，f（1）=1，f（e）=e?e1﹣e＞0，

所以当x∈（0，e]时，函数f（x）的值域为（0，1]．… 当a=0时，g（x）=﹣2lnx在（0，e]上单调，不合题意； … 当a≠0时，g′（x）=

，x∈（0，e]，

故必须满足0＜＜e，所以a＞． … 此时，当x 变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下： x g′（x） g（x）

（0，） ﹣ 单调减

0

最小值

（，e] +

单调增

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