高考数学复习考前三个月第三篇考点回扣2函数与导数理

回扣2 函数与导数

[知识方法回顾] 1.函数的定义域和值域

(1)求函数定义域的类型和相应方法

①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f[g(x)]的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集；反之，已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈[a，b])的值域； ③实际问题应使实际问题有意义. (2)常见函数的值域

①一次函数y＝kx＋b (k≠0)的值域为R；

?4ac－b，＋∞?，a<0时，值域为

②二次函数y＝ax＋bx＋c (a≠0)：a>0时，值域为??

?4a?

2

2

?－∞，4ac－b?；

?4a???

③反比例函数y＝(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}； ④指数函数y＝a(a>0且a≠1)的值域是全体正实数； ⑤对数函数y＝logax (a>0且a≠1)的值域为R. 2.函数的性质 (1)函数的奇偶性

奇偶性是函数在定义域上的整体性质

①偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的区间上具有相反的单调性；②奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的区间上具有相同的单调性；③若f(x)为奇函数且0在其定义域内则f(0)＝0；④若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|). (2)函数的单调性

函数的单调性是函数在定义域上的局部性质. ①单调性的定义的等价形式：设x1，x2∈[a，b]， 那么(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0?(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0?

x2

kxfx1－fx2

>0?f(x)在[a，b]上是增函数；

x1－x2

fx1－fx2

<0?f(x)在[a，b]上是减函数.

x1－x2

②若函数f(x)和g(x)都是减函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是减函数；若函数f(x)和g(x)都是增函数，则在公共定义域内，f(x)＋g(x)是增函数；根据同增异减判断复合函数

1

y＝f[g(x)]的单调性.

(3)函数的周期性

①若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x) (a≠0)，则其一个周期为T＝|a|. ②常见两种形式：

mf(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝ (a≠0)，m为非零常数，则2a为f(x)的一个周期.

fx③若已知函数f(x)相邻的两个对称中心或两条对称轴，则相邻两对称中心或两对称轴之间距离的2倍为f(x)的一个周期.

④若已知函数f(x)的一个对称中心和相邻的一条对称轴，则对称中心到对称轴距离的4倍为

f(x)的一个周期.

3.函数图象

(1)利用基本函数图象的变换作图 ①平移变换：

h>0，右移y＝f(x)h――――→y＝f(x－h)， <0，左移k>0，上移y＝f(x)k――――→y＝f(x)＋k. <0，下移

②伸缩变换：

y＝f(x)ω――――→y＝f(ωx)， >1，缩

01，伸③对称变换：

0<ω<1，伸

x轴y＝f(x)――→y＝－f(x)， y轴y＝f(x)――→y＝f(－x)， y＝f(x)――→y＝－f(－x).

(2)函数图象的对称性

①如果函数f(x)满足对任意x都有f(a＋x)＝f(b－x)，则这个函数图象关于直线x＝

原点

a＋b2

对称，反之亦然；②如果函数f(x)满足对任意x都有f(a＋x)＝－f(b－x)，则这个函数图象关于?

?a＋b，0?中心对称，反之亦然.注意这个结论中b＝a的情况.

?

?2?

4.熟记指数式与对数式的七个运算公式

2

am·an＝am+n；(am)n＝amn；loga(MN)＝logaM＋logaN；

loga＝logaM－logaN；logaM＝nlogaM；alogaN＝N； logbNlogaN＝(a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0).

logba5.准确记忆指数函数与对数函数的基本性质 (1)定点：y＝a (a>0，且a≠1)恒过(0,1)点；

xMNny＝logax(a>0，且a≠1)恒过(1,0)点.

(2)单调性：当a>1时，y＝a在R上单调递增；y＝logax在(0，＋∞)上单调递增； 当0

(1)零点定义：x0为函数f(x)的零点?f(x0)＝0?(x0,0)为f(x)的图象与x轴的交点. (2)确定函数零点的三种常用方法 ①解方程判定法：即解方程f(x)＝0.

②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点. ③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解. 7.导数的几何意义

(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上. 8.利用导数研究函数的单调性

(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由

xxf′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区

间.

(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则

f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0 (x∈M)恒成

立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集.

9.利用导数研究函数的极值与最值

3

(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化： 若左正右负，则x0为极大值点； 若左负右正，则x0为极小值点； 若不变号，则x0不是极值点.

(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

10.定积分的三个公式与一个定理 (1)定积分的性质： ①?akf(x)dx＝k?af(x)dx；

②?a[f1(x)±f2(x)]dx＝?af1(x)dx±?af2(x)dx. ③?af(x)dx＝?af(x)dx＋?cf(x)dx(其中a

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?af(x)dx＝F(b)－

bbcbbbbbbF(a).

[易错易忘提醒]

1.函数的定义域与值域都是一个集合，最后结果要写成集合或区间的形式. 2.解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则. 3.解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围. 4.函数的零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标.

5.画函数图象或由解析式辨别其函数图象时注意函数定义域、值域、单调性、奇偶性等性质的应用.

6.解决与指数函数、对数函数有关问题时，要注意对底数取值范围的讨论.

7.求曲线在某点处的切线方程时，首先要检验该点是否在曲线上.若该点在曲线上，则直接利用导函数的几何意义表示切线斜率；若该点不在曲线上，则应设出切点坐标，利用导数的几何意义和斜率公式建立方程，确定切点坐标和切线方程.

8.记准基本初等函数的求导公式和基本的求导法则.特别要记准(sin x)′＝cos x；(cos x)′

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