2018年高中数学人教A版选修2-2第1章导数及其应用 1.1.1-1.1.2习题含解析

人教A版2018-2019学年高中数学选修2-2习题

第一章

导数及其应用

1.1 变化率与导数

1.1.1 变化率问题 1.1.2 导数的概念

课时过关·能力提升

基础巩固

1已知函数y=f(x)=x2+1,则当x=2,Δx=0.1时,Δy的值为( )

A.0.40 B.0.41

C.0.43 D.0.44

解析∵x=2,Δx=0.1,∴Δy=f(x+Δx)-f(x)=f(2.1)-f(2)=(2.12+1)-(22+1)=0.41.

答案B

2当自变量从x0变到x1时,函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在x=x0处的变化率 C.在x=x1处的变化量 D.在区间[x0,x1]上的导数 答案A

3若函数f(x)在x 0处可导,则 -

的值 A.与x0,h都有关

B.仅与x0有关,而与h无关 C.仅与h有关,而与x0无关 D.与x0,h均无关

解析由导数的概念可知, -

=f'(x0),仅与x0有关,与h无关.故选B. 答案B

4已知函数f(x)=2x+1,则函数f(x)从x0变化到x0+Δx的平均变化率为( )

1

( )

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A.-2 C.3

B.2 D.不确定

-

解析f(x0+Δx)-f(x0)=2(x0+Δx)+1-2x0-1=2Δx,故平均变化率为答案B

=2. 5已知某质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在时间段[1,1+Δt]内相应的平均速度为-3Δt-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是( ) A.-3

B.3

C.6

D.-6

解析由平均速度和瞬时速度的关系可知,

s'|t=1= (-3Δt-6)=-6.

答案D

6如图,函数y=f(x)在A,B两点间的平均变化率等于 .

答案-1

7函数y=f(x)=x+ 在x=2处的导数是 . 解析f'(2)=

-

-

=

= - .

答案 8航天飞机发射后的一段时间内,t时刻的高度h=f(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.

(1)f(0),f(1)分别表示什么? (2)求第1 s内高度的平均变化率;

(3)求第1 s时高度的瞬时变化率,并说明它的意义.

分析先确定f(0),f(1)的含义,再利用平均变化率和瞬时变化率的定义求解. 解(1)f(0)表示航天飞机未发射时的高度,f(1)表示航天飞机发射1 s时的高度.

(2)

-

=80,即第 -

1 s内高度的平均变化率为80 m/s.

2

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(3)f'(1)=

-

[5(Δt)2+45Δt+120]=120,即第1 s时高度的瞬时变化率

为120 m/s.它说明在第1 s附近,航天飞机的高度大约以120 m/s的速度增加.

9已知质点做直线运动,且位移s是时间t的函数:s=s(t)=3t2+2t+1.

(1)求从t=2到t=2+Δt的平均速度,并分别求当Δt=1,Δt=0.1与Δt=0.01时的平均速度; (2)求当t=2时的瞬时速度.

分析(1)根据平均变化率的概念可求平均速度;(2)即求位移s在t=2处的导数. 解(1)从t=2到t=2+Δt的平均速度为

- - -

=

==14+3Δt.

当Δt=1时,平均速度为14+3×1=17; 当Δt=0.1时,平均速度为14+3×0.1=14.3; 当Δt=0.01时,平均速度为14+3×0.01=14.03. (2)当t=2时的瞬时速度为v=

(14+3Δt)=14.

能力提升

1已知函数y=f(x)=x2+1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1+Δx,2+Δy),则 等于( )

A.2 C.2+Δx

B.2x D.2+(Δx)2

解析∵邻近一点的坐标为(1+Δx,2+Δy),

∴2+Δy=f(1+Δx)=(1+Δx)2+1=2+2Δx+(Δx)2. ∴Δy=(Δx)2+2Δx. ∴ =2+Δx. ∴

答案A

2已知一个物体的运动方程为s=s(t)=1-t+t2,其中位移s的单位是m,时间t的单位是s,则物体在第3 s时的瞬时速度是( ) A.7 m/s

B.6 m/s

(2+Δx)=2.故选A.

3

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C.5 m/s 解析s'(3)=

D.8 m/s

-

- - -

=

= (5+Δt)=5.

答案C

3已知函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3,则a的值为( ) A.2 C.3

解析∵f'(1)=

=

B.-2 D.-3

-

-

=a,

∴f'(1)=a=3.

答案C

4函数y=- 在点x=4处的导数是( )

A. C. 解析∵Δy=-= =

B.- D.-

- ,

∴ . ∴

=

.

∴y'|x=4= .

答案C

4