2011年高考数学总复习系列知识点与方法 - 高中数学必修五

当cos(A-B)＝1时，S有最大值

第二章 数列

*******毋庸置疑，数列是历年各省市解答题中必出的内容。因此同学要熟练百倍！

一、基础知识【理解去记】

定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，?，n，?. 数列分有穷数列和无穷数列两种，数列{an}的一般形式通常记作a1, a2, a3,?，an或a1, a2, a3,?，an?。其中a1叫做数列的首项，an是关于n的具体表达式，称为数列的通项。

定理1 若Sn表示{an}的前n项和，则S1=a1, 当n>1时，an=Sn-Sn-1.

定义2 等差数列，如果对任意的正整数n，都有an+1-an=d（常数），则{an}称为等差数列，d叫做公差。若三个数a, b, c成等差数列，即2b=a+c，则称b为a和c的等差中项，若公差为d, 则a=b-d, c=b+d. 定理2 *****【必考】等差数列的性质：1）通项公式an=a1+(n-1)d；2）前n项和公式：Sn=

n(a1?an)n(n?1)?na1?d；3）an-am=(n-m)d，其中n, m为正整数；4）若n+m=p+q，则an+am=ap+a-22q；5）对任意正整数2

p, q，恒有ap-aq=(p-q)(a2-a1)；6）若A，B至少有一个不为零，则{an}是等差数列的充

要条件是Sn=An+Bn.

定义3 等比数列，若对任意的正整数n，都有

an?1?q，则{an}称为等比数列，q叫做公比。 ann-1

a1(1?qn)定理3 *****【必考】等比数列的性质：1）an=a1q；2）前n项和Sn，当q?1时，Sn=；当

1?qq=1时，Sn=na1；3）如果a, b, c成等比数列，即b2=ac(b?0)，则b叫做a, c的等比中项；4）若m+n=p+q，

则aman=apaq。

定义4 极限，给定数列{an}和实数A，若对任意的?>0，存在M，对任意的n>M(n∈N),都有|an-A|

n??定义5 无穷递缩等比数列，若等比数列{an}的公比q满足|q|<1，则称之为无穷递增等比数列，其前n项和Sn的极限（即其所有项的和）为

a1（由极限的定义可得）。 1?q定理4 数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)时n=k成立时能推出p(n)对n=k+1成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。

【补充知识点】

定理5 第二数学归纳法：给定命题p(n)，若：（1）p(n0)成立；（2）当p(n)对一切n≤k的自然数n都成立时（k≥n0）可推出p(k+1)成立，则由（1），（2）可得命题p(n)对一切自然数n≥n0成立。 定理6 对于齐次二阶线性递归数列xn=axn-1+bxn-2，设它的特征方程x2=ax+b的两个根为α,β:(1)若α?β，则xn=c1an-1+c2βn-1，其中c1, c2由初始条件x1, x2的值确定；(2)若α=β，则xn=(c1n+c2) αn-1，其中c1, c2的值由x1, x2的值确定。

二、基础例题【必会】

1．不完全归纳法。

这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探索未知世界的普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。

例1 试给出以下几个数列的通项（不要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，?；2）1，5，19，65，?；3）-1，0，3，8，15，?。

【解】1）an=n2-1；2）an=3n-2n；3）an=n2-2n.

数学必修5 第 5 页 共 19 页

例2 已知数列{an}满足a1=【解】 因为a1=

1,a1+a2+?+an=n2an, n≥1，求通项an. 21,又a1+a2=22·a2, 2a?a111所以a2=，a3=?22?,猜想an?(n≥1).

3?23?4n(n?1)3?11证明；1）当n=1时，a1=，猜想正确。2）假设当n≤k时猜想成立。

2?1当n=k+1时，由归纳假设及题设，a1+ a1+?+a1=[(k+1)2-1] ak+1,， 所以

111=k(k+2)ak+1, ????2?13?2k?(k?1)11111即1???????=k(k+2)ak+1,

223kk?1k1. 所以=k(k+2)ak+1,所以ak+1=

k?1(k?1)(k?2)1. 由数学归纳法可得猜想成立，所以an?n(n?1)1例3 设01.

an【证明】 证明更强的结论：1

2)假设n=k时，①式成立，即1

1?a?ak?1111?a?a21?a??a??a???1.

1?a1?a1?aak由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。

2．迭代法

数列的通项an或前n项和Sn中的n通常是对任意n∈N成立，因此可将其中的n换成n+1或n-1等，这种办法通常称迭代或递推。

22例4 数列{an}满足an+pan-1+qan-2=0, n≥3，q?0，求证：存在常数c，使得anan+qan?cqn?0. ?1?pan?1·2222【证明】an?1?pan?1·an+1+qan?1?an?2(pan+1+an+2)+qan?1=an+2·(-qan)+qan?1= 2222q(an?1?anan?2)?q[an?1+an(pqn+1+qan)]=q(an?1?pan?1an?qan).

222若a2?pa2a1?qa12=0，则对任意n, an?1?pan?1an+qan=0，取c=0即可.

222若a2 ?pa2a1?qa12?0，则{an?1?pan?1an+qan}是首项为a2?pa2a1?qa1，公式为q的等比数列。

2222n所以an1)·q. ?1?pan?1an+qan=(a2?pa2a1?qa22取c??(a2?pa1a2?qa1)·综上，结论成立。

221即可. q2例5 已知a1=0, an+1=5an+24an?1，求证：an都是整数，n∈N+. 【证明】 因为a1=0, a2=1，所以由题设知当n≥1时an+1>an. 又由an+1=5an+24an?1移项、平方得

22an?1?10anan?1?an?1?0. ①

2当n≥2时，把①式中的n换成n-1得an?10anan?1?an?1?1?0，即

数学必修5 第 6 页 共 19 页

22

a2n?1?10anan?1?a?1?0. ②

2n2因为an-1

an-1=10an(n≥2).

再由a1=0, a2=1及③式可知，当n∈N+时，an都是整数。 ****3．数列求和法。

数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。

1(n=1, 2, ?)，求S99=a1+a2+?+a99. n1004?2112?2100?4n?4100?n1【解】 因为an+a100-n=n+=， ?100100?n100100100n100?n1004?24?24?2?2(4?4)219919999所以S99=?(an?a100?n)??100?101.

2n?1222111?. 例7 求和：Sn?+?+

1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)1k?2?k?【解】 一般地，

k(k?1)(k?2)2k(k?1)(k?2)例6 已知an=

?1?11??， ??2?k(k?1)(k?1)(k?2)??n1所以Sn=?

k(k?1)(k?2)k?1?1?111111 ?????????2?1?22?32?33?4n(n?1)(n?1)(n?2)???

??1?11?? 2?2(n?1)(n?2)??11??. 42(n?1)(n?2)?an?的前n项和，求证：Sn<2。 n?2??例8 已知数列{an}满足a1=a2=1，an+2=an+1+an, Sn为数列?【证明】 由递推公式可知，数列{an}前几项为1，1，2，3，5，8，13。 因为Sn?所以

a112358， ① ?2?3?4?5?6???nn2222222a11235。 ② Sn?2?3?4?5???nn?1222222?an???2n?1， ?an?2111?11Sn??2?????2n?2222?222?a111所以Sn??Sn?2?nn。 ?12242a又因为Sn-20,

2?111111所以Sn??Sn, 所以Sn?，

22442由①-②得

数学必修5 第 7 页 共 19 页

所以Sn<2，得证。 4．特征方程法

例9 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=4n+1-4an，求an. 【解】 由特征方程x2=4x-4得x1=x2=2.

?3????故设an=(α+βn)·2，其中?，

6?(??2?)?2?n-1

所以α=3，β=0，

所以an=3·2n-1.

例10 已知数列{an}满足a1=3, a2=6, an+2=2an+1+3an，求通项an. 【解】 由特征方程x2=2x+3得x1=3, x2=-1,

?3?3???所以an=α·3+β·(-1)，其中?，

6?9????33解得α=，β??，

441n?1n?1所以an?[3?(?1)·3]。

4n

n

5．构造等差或等比数列

例11 正数列a0,a1,?,an,?满足anan?2?an?1an?2=2an-1(n≥2)且a0=a1=1，求通项。 【解】 由anan?2?an?1an?2?2an?1得

ana?2n?1=1， an?1an?2?a?ann?1?即?1?2?1?.

?an?2?an?1??令bn=

ana1+1，则{bn}是首项为+1=2，公比为2的等比数列， an?1a0ana+1=2n，所以n=（2n-1）2， an?1an?1所以bn=

nanan?1a2a1k2所以an=·?··a0=?(2?1).

a1a0an?1an?2k?1注：

?Ci?1ni?C1·C2·?·Cn.

2xn?2例12 已知数列{xn}满足x1=2, xn+1=,n∈N+, 求通项。

2xnx2?2x2?2【解】 考虑函数f(x)=的不动点，由=x得x=?2.

2x2x2xn?2因为x1=2, xn+1=,可知{xn}的每项均为正数。

2xn2又xn+2≥22xn，所以xn+1≥2(n≥1)。又

2xn?2(xn?2)2Xn+1-2=, ① ?2=

2xn2xn数学必修5 第 8 页 共 19 页