（整理）专题2-微分方程建模（讲义）

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微分方程建模

在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。微分方程模型在自然科学中的应用主要以物理、力学等客观规律为基础建立起来，而在经济学、人口预测等社会科学方面的应用则是在类比、假设等措施下建立起来。微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求微分方程。

微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：

1. 根据实际要求确定要研究的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。 2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。 3. 运用这些规律列出方程和定解条件。

求解微分方程的方法： (1) 求精确解；

(2) 求数值解（近似解）； (3) 定性理论方法。

一般地，求微分方程的解析解是相当困难的，大多数的微分方程需要用数值方法来求解。因此，首先需要研究微分方程的解的存在性和稳定性的问题。

一．微分方程理论回顾

1. 微分方程的一般形式 一阶微分方程

?dx??f(t,x) ?dt (1) ??x(t0)?x0其中f(t,x)是t和x的已知函数，x(t0)?x0为初始条件，又称定解条件。

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一阶微分方程组

?dxi?fi(t,x1,x2,?,xn)? ?dt?x(t)?x(0)i?i0又称一阶正规方程组。如果引入向量

(i?1,2,?,n) (2)

x?(x1,x2,?,xn)T，

(0)(0)Tx0?(x1(0),x2,?,xn)，

f?(f1,f2,?,fn)T，

?dx??f(t,x)， ?dt??x(t0)?x0则方程组(2)可以写成简单的形式：

?dx??f(t,x) ?dt (3)

??x(t0)?x0即(3)与(1)的形式相同，当n?1时(3)为方程(1). 对于任一高阶的微分方程

?dnxdxdn?1x?n?f(t,x,,?,n?1) dtdt?dt?X(t)?X00?dix记i?yi，(i?1,2,?,n)，则 dt?dyn?1?fi(t,y0,y1,?,yn?1)?， dt??X(t0)?X0?即可化为一阶方程组的形式。 下面对正规方程组(3)进行讨论。 2. 微分方程解的存在唯一性

正规方程组(3)的解存在且唯一的条件由下列定理给出。

定理1 如果函数f(t,x)在R:t?t0?a,x?x0?b上连续，则方程组(3)在t?t0?h上

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有解x??(t)满足初始条件x0??(t0)，此处h?min(a,b),M?maxf(t,x)。

(t,x)?RM 定理2 如果函数f(t,x)在R:t?t0?a,x?x0?b上连续，且满足利普希兹(Lipschitz)条件(即存在正常数L使得f(t?x(1))?f(t?x(2))?Lx(1)?x(2)， 其中(t,x(1)),(t,x(2))?R，则方程组(3)满足初始条件x0??(t0)的解是唯一的。 3. 微分方程的稳定性问题

在实际问题中，微分方程所描述的是物质系统的运动规律，在用微分方程来研究这个物理过程中，人们只考虑影响该过程的主要因素，而忽略一些认为次要的因素，这种次要的因素通常称为干扰因素。这些干扰因素在实际中可以瞬时的起作用，也可以持续的起作用。从数学上看，前者会引起初值条件的变化，而后者会引起微分方程本身的变化。在实际问题中，干扰因素是客观存在的。由此，对于它的影响程度的研究是必要的，即初值条件或微分方程的微小变化是否也只引起对应解的微小变化？这就是微分方程的稳定性问题。下面以方程组(3)为例来讨论。

3.1 有限区域的稳定性

如果f(t,x)在某个有限的区域G?Rn?1内连续，且对X满足利普希兹(Lipschitz)条件，

x??(t)(a?t?b)是方程组(3)的一个特解，则当x0充分接近于?(t0),(a?t?b)时，方程组

(3)在a?t?b上满足初值条件x0?x(t0)的解x??(t,t0,x0)有

x0??(t0)lim?(t,t0,x0)??(t)， (a?t?b)

即对任意给定的??0，总存在相应的?(?)?0，当x0??(t0)??(?)时，对一切a?t?b有

?(t,t0,x0)??(t)??

此时称方程组(3)的解x??(t)在有限区间a?t?b上是稳定的。

3.2 经常扰动下的稳定性

对于方程组(3)， 考虑相应的方程组

?dx??f(t,x)?R(t,x) ?dt (4)

??x(t0)?x0这里的R(t,x)称为扰动函数。

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如果对于任意给定的??0，总存在相应的?(?)?0和?(?)?0，使得当

x0??(t0)??(?)时有

R(t,x)??(?)

则方程组(4)有满足初始条件x0?x(t0)的解x??(t,t0,x0)，(t?t0)且当t?t0时有

?(t,t0,x0)??(t)??

就说方程组(3)的特解x??(t)在经常扰动下是稳定的。 3.3 研究稳定性的方法

实际中，要研究方程组(3)的解x??(t)的稳定性问题，可以转化为研究方程的零解(平凡解)的稳定性问题。事实上：

对于方程组(3)的任一特解x??(t)，只要令y?x??(t)，则

dydxd?(t)???f(t,x)?f(t,?(t))?f(t,y??(t))?f(t,?(t))?g(t,y) dtdtdt显然有g(t,0)?0，故方程组(3)变为

dy?g(t,y) (5) dt于是可知方程组(3)的解x??(t)对应于方程组(5)为y?0(平凡解)。因此，要研究方程组(3)的解x??(t)的稳定性问题可转化为研究方程组(5)的平凡解y?0的稳定性问题。 4． 微分方程的平衡点及稳定性 4.1 微分方程的平衡点 设有微分方程组(3)， 即

?dx??f(t,x)， ?dt??x(t0)?x0对于x?(x1,x2,?,xn)T?Rn，t?[a,b]，f(t,x)在某个区域连续，且满足解的存在唯一性条件。如果存在某个常数x0?Rn，使得f(t,x0)?0，则称点x0为方程组(3)的平衡点(或奇点)，且称x?x0为方程组的平凡解(或奇解)。

如果对于所有可能初值条件，方程组(3)的解x??(t)都满足

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