第二章 不等式（全）

第二章 不等式 一、不等式的性质与证明

（一）实数的大小与不等式

数轴上的任意两点中，右边的点对应的实数比左边的点对应的实数大。含有不等号的式子，叫做不等式。 （二）不等式的性质

1、不等式的性质

性质1 （传递性）如果a?b，b?c，则a?c 性质2 （加法法则）如果a?b，则a?c?b?c 性质3 （乘法法则）如果a?b，c?0，则ac?bc； 如果a?b，c?0，则ac?bc 推论1 （移项法则）如果a?b?c，则a?c?b 推论2 如果a?b，且c?d，则a?c?b?d 推论3 如果a?b?0，且c?d?0，则ac?bd 2、不等式的证明

均值定理：两个正实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值

a?b?ab （a?0，b?0） 2二、不等式的解法

（一）不等式的解集与区间

1、不等式的解集 2、区间

（二）一次不等式和不等式组的解法

1

（三）一元二次不等式的解法

例1、解不等式

（1）x2?x?12?0 （2）x2?x?12?0 例2、解不等式

（1）x2?2x?3?0 （2）x2?2x?3?0 解一般的一元二次不等式

ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0

可令a?0，若a?0，则不等式的两边同时乘以?1 可分三种情况进行讨论①??0；②??0；③??0 （四）分式不等式的解法

在分式的分母中含有未知数的不等式叫做分式不等式。例、解分式不等式

x?3x?5?0 （五）含有绝对值的不等式

一般地，如果a?0，则

x?a??a?x?a；x?a?x??a或x?a

例、解不等式2x?3?5

数学第一册练习册 P14 综合练习

一、填空题

1、当 时，(a?b)2?4ab

解：若(a?b)2?4ab，则a2?2ab?b2?4ab，从而(a?b)2?0， 所以a?b

2、当x?0时，2x?8x的最小值是

2

解：因为?8x?16是一个常数，所以当?8x时?8x有最小值

所以x2?，x?（取正值）

从而?8x?8，所以?8x的最小值是8 3、若x2?y2?2，则xy? 解：因为(x?y)2?0，所以x2?2xy?y2?0

x2?y22从而xy???1，即xy?1

222x2x2x14122x2x4、不等式3?x?0的解集用区间表示为

解：3?x?0，x?3，所以不等式3?x?0的解集用区间表示为(??,3) 5、不等式3?2x?1的解集为

解：3?2x?1，?1?3?2x?1，?4?2x??2，?2?x??1

不等式3?2x?1的解集为(?2,?1) 6、已知a?b，且a?b?0，则a b

解：由a?b?0得a??b，又因为a?b，从而b?a??b，所以a?b 7、当x? 时，y?x(5?2x)的最大值为

25 8解：由于2x?(5?2x)?5是常数，所以当2x?5?2x时y?x(5?2x)有最大

值，这时x?

8、设全集U?R，A??xx2?1?1?，B??xx?0? 则?UA??UB? 解：A??xx2?1?1??xx??2?x?2

?UA?x?2?x?2，?UB??xx?0? ?UA??UB?x?2?x?0

54??????9、比较大小：（1）(a?1)(a?4) (a?2)(a?3)

3

解：(a?1)(a?4)?(a?2)(a?3)?(a2?5a?4)?(a2?5a?6)??2?0

所以 (a?1)(a?4)?(a?2)(a?3) （2）b b?maa?m（a?b?0,m?0） 解：bb?m(ab?mb)?(ab?ma)a?a?m?a(a?m)?m(b?a)a(a?m)?0 所以b?b?maa?m 二、选择题

1、已知a?0?b，则下列不等式中必成立的是（ ） A、a2?b2 B、a3?b3 C、a?b D、1a?1b 答：应选B

2、不等式(?x2?1)(2?x)?0的解集是（ ）

A、[1,2] B、[2,??) C、(??,2] D、[?1,2] 解：(?x2?1)(2?x)?0，(x2?1)(x?2)?0，

因为x2?1?0，所以x?2?0，x?2，所以应选B 3、a2?b2的充分必要条件是（ ）

A、a?b B、a?b C、a?b D、a?b 答：应选D

4、若a,b,c?R，且a?b，则有（ ）

A、a?c?b?c B、ac?bc C、c2a?b?0 D、(a?b)c?0解：应选C

5、不等式1?x?322的解集是（ ）

4