力学习题

力学习题 注：红色标记代表经典，黄色标记代表复杂

1.

杆以匀角速度?0绕过其固定端o且垂直于杆的轴转动，在t?0时，位于o点的小珠从相对于杆静止开始做加速度为a0的匀加速运动。求小珠在时刻t的速度和加速度。

<解>

出发点：求出位移r?t?

建立平面极坐标系，则小珠的位移可写为

r?t?? 从而，其速度为

12a0ter 2v?t?? 加速度为

d1r?t??a0ter?a0?t2e? dt2d1a?t??v?t??a0er?a0?te??a0?te??a0?2t2er

dt21????a0?a0?2t2?er?2a0?te?

2?? 2． 离水面高度为h的岸上有人用绳索拉船靠岸。人以恒定速度v0拉绳，求当船离岸

的距离为s时，船的速度和加速度。

<解>

设在某时刻t，船离岸边的距离为l，离岸的距离为s?，则有

dl??v0 dt 又， l 从而， ?h2?s?2 s?s?h?s?22??v0

即， s?vh?s?22?v0

s?s?v0h?s?22 又有， s?v?s?a?

v0h2?s2 从而当s??s时， v?s

v02h2 a?s3

3． 曲柄OA?r，以匀角速?绕定点O转动。此曲柄借连杆AB使滑块B沿直线Ox运动。求连杆上C点的轨迹方程及速度。设AC?CB?a，?AOB??，

?ABO??。

<解>

可取?为运动学参量(将点C的位移表示为?的函数) xA xB?rcos?， yA?rsin?；

?rcos??4a2?r2sin2?， yB?0

（1）

4a2?r2sin2?xA?xB?rcos?? 从而，xC?22yA?yBrsin?? yC?22 （2）

从而，由（1），（2）知，点C的轨迹方程为

?x 其速度为

vCxC?a?yC22??4y22C?r2

???rsin??r2sin2?44a?rsin?222，

vCy??rcos?2

4.一质点沿位矢及垂直位矢的速度分别为?r及??，式中?及?是常数。试证其

沿位矢及垂直位矢的加速度为

?r? <证明> 由题意可知

2?2?2r，?????????? r?r??r，

r??r??2r；

???? 从而， ar??rr22，

??r?r??

?r??r??r?2?2?2r，

???a??r?2r?????? ???

r?? 附：极坐标系中，r?rer，

v?r?rer?r?e?，

a?v??r?er?r?e??r?e??r?e??r?2er，

?r??2rer??r?2r?e?

5．一直角三角形框架中，?ACB??。已知某瞬时A、B两点加速度的大小分别

为aA和aB，方向如图所示。求此时C点的加速度。

????

<解> 由于A、B、C三点的相对位形不变，故可采用非惯性参照系的思想求解此问

题如下。

选B为参考点，则A、C两点将只能以B为圆心转动。 而由于 a?AB??a?ABr?aB?aA，

?故知 a?AB?沿x轴正向，且 aAB? aABr?aAcos??aB；

?aAsin?， 方向沿y轴负向。

r若建立极坐标系，则对于A、C

?0 ??CB

且， ?AB 从而，

??沿y轴负向，其大小为 aCBBCAB????CBBC?aCB?ABAB?cot?a?AB???aAcos??aB?cot?

?沿x轴负向，其大小为 又，aCBr???CB2BC? aCBr 从而， 由aCxBCAB?AB2AB?cot?a?ABr?aAcos?

???aCBr? ?aCy?aB?aCBaCx???aAcos??aB?i；

aCy???aAcos??aB?cot?j

6．一子弹以v0的速度和45的仰角自地面射出，子弹在飞行时受到的空气阻力为其速

o