2018高考数学复习：第3章导数第2节导数的应用(3)（含解析）

4.（2015天津文20） 已知函数f(x)?4x?x,x?R,其中n?N，且n…2. （2）设曲线y?4*f?x?与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y?g?x?，

f?x??g?x?；

求证：对于任意的正实数x，都有（3）若方程

f?x?=a（a为实数）有两个正实数根x1，x2，且x1

1a求证：x2?x1???43.

34. 分析（2） g?x??f??x0??x?x0?，F?x??f?x??g?x?，证明F?x?在???，x0? 上单调递增，在?x0，+??上单调递减，所以对任意的实数x，F?x?刦F?x0??0，对于任意的正实数x，都有f?x??g?x?；

a????43，由g?x?在???，?，可得x2（3）设方程 g?x??a的根为x2+??上单调递减，

12? .设曲线y?f(x)在原点处的切线为??，所以x2?x2得g?x2?…f?x2??a?g?x21??y?h?x?，方程h?x??a的根为x1?，可得x1a，由h(x)?4x在???， ???上单调递增，41a??x1????43. ??x1，所以x2?x1?x2???a?f?x1??h?x1?，可得x1且h?x13解析（2）设P?x0,0? ，则x0?4 ，且f??x??4?4x3，得f??x0???12，

曲线y?f?x? 在点P处的切线方程为y?f??x0??x?x0? ，即g?x??f??x0??x?x0?， 令F?x??f?x??g?x? ，即F?x??f?x??f??x??x?x0? .则F??x??f??x??f??x0?. 由于f??x??4?4x3在???,??? 单调递减，故F??x?在???,??? 单调递减， 又因为F??x0??0，所以当x????,x0?时，F??x??0， 所以当x??x0,???时，F??x??0.

所以F?x?在???,x0?单调递增，在?x0,???单调递减，

所以对任意的实数x，F?x??F?x0??0 ，对于任意的正实数x，都有f(x)?g(x).

131???， （3）由（2）知g?x???12?x?43?，设方程g?x??a的根为x2??a????43，因为g?x?在???，可得x2+??上单调递减，

12? . ??，所以x2?x2又由（2）知g?x2?…f?x2??a?g?x2设曲线y?f?x?在原点处的切线为y?h?x?，

可得h?x??4x，对任意的x????，???，有f?x??h?x???x4?0，即f?x??h?x?.

1?，可得x1??设方程h?x??a 的根为x1a， 4???a?f?x1??h?x1?， 因为h?x??4x在???，+??单调递增，且h?x1a??x1????43. ??x1，所以x2?x1?x2因此x135.（2017全国3文21）已知函数f?x??lnx?ax??2a?1?x．

21（1）讨论f?x? 的单调性； （2）当a?0时，证明f?x???5.解析 (1)f??x??3?2． 4a1(2ax?1)(x?1)?2ax?(2a?1)??x?0?， xx当a…0时，f??x??0，f?x?单调递增； 当a?0时，x??0,???1??1??x??,??，，单调递增，f(x)?0f(x)???，f?(x)?0，

2a2a???f(x)单调递减.

（2）当a?0时，f(x)刦f???1??1?1?ln?1， ??????2a??2a?4a要证f(x)??3?1?1?1?0. a?2，即证ln????2a2a4??令t??11(t?(0,??))，g(t)?lnt?t?1，g?(t)??1. 2at当t?(0,1)时，g?(t)?0，当t?(1,??)时，g?(t)?0， 所以g?t??g?1??0，即f(x)??3?2. 4a评注 本题难度中偏上，第（1）问考查导函数含参的函数单调性的讨论，第（2）问属于构造函数证明不等式类问题，有一定难度.

题型42 导数在实际问题中的应用

1. (2013重庆文20）某村庄拟修建一个无盖的圆柱形储水池（不计厚度）.设该储水池的底 面半径为r米，高为h米，体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本 为100元/平方米.底面的建造成本为160元/平方米，该储水池的总建造成本为12000π元（π 为圆周率）

（1）将V表示成r的函数V?r?，并求该函数的定义域；

（2）讨论函数V?r?的单调性，并确定r和h为何值时该储水池的体积最大. 1.分析 根据数量关系列出函数关系式，并利用导数研究函数的单调性与最值.

解析 （1）因为蓄水池侧面的总成本为100?2πrh?200πrh（元），底面的总成本为160πr元，所以蓄水池的总成本为200πrh?160πr2元. 又根据题意200πrh?160πr?12000π，所以h?22??1300?4r2?，从而 ?5rV?r??πr2h?π300r?4r3?. ?5因为r?0，又由h?0可得r?53，故函数V?r?的定义域为0,53. （2）因为V?r????ππ3?，所以300r?4rVr?300?12r2?. ?????55令V??r??0，解得r1?5,r2??5（因为r2??5不在定义域内，舍去）. 当r??0,5?时，V??r??0，故V?r?在?0,5?上为增函数； 当r?5,53时，V??r??0，故V?r?在5,53上为减函数； 由此可知，V?r?在r?5处取得最大值，此时h?8. 即当r?5，h?8时，该蓄水池的体积最大.

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