2018高考数学复习：第3章导数第2节导数的应用(3)（含解析）

（2）若0?a?1，b?1，函数g?x??f?x??2有且只有1个零点，求ab的值.

1?1?x10.解析 （1）①f?x??2x???，由f?x??2可得2?x?2，

2?2?则2xx??2?2?2x?1?0，即?2x?1??0，则2x?1，解得x?0；

211?1?1????2xm?2x?x??6恒成立，即?2x?x??2…②由题意得2?2x…m?2x?x??6恒成22?2?2????立. 令t?2?x211xxt…22??2， 2?0，则由，可得xx22t2?44?t?恒成立， mt?6恒成立，即m?此时t?2…tt22时t?因为t…44…2t??4，当且仅当t?2时等号成立，因此实数m的最大值为4. ttxxxx??lnab??????， （2）g?x??f?x??2?ax?bx?2，g??x??alna?blnb?alnb???lnb?a???b?b?lna由0?a?1，b?1可得?1，令h?x?????，则h?x?单调递增，

aalnb??而lna?0，lnb?0，因此x0?logb??xx?lna??时h?x0??0. lnb?a?因此x????,x0?时，h?x??0，alnb?0，则g??x??0；

xx??x0,???时，h?x??0，alnb?0，则g??x??0.

则g?x?在???,x0?递减，?x0,???递增. 解法一：下证x0?0. ①若x0?0，则x0?x0?x??0，于是g?0??g?0??0， 2?2?loga2又loga2?0且g?loga2??aloga2?bloga2?2?a因此连续函数g?x?在以由

?2?0，

x0与loga2为端点的区间上存在零点，不妨记为x1. 2x0?0且loga2?0可知x1?0，这与“0是函数g?x?的唯一零点”相矛盾. 2②若x0?0，仿照①可得到，

连续函数g?x?在以

x0?0与logb2?0为端点的区间上存在大于0的零点x2，也相矛盾. 2lna?lna??0??1， ，即?lnblnb?a?③综合①②可知x0?0，即logb??即lna?lnb?0，因此ln?ab??0，则ab?1.

评注 解法二：（也可以g?x0?作为研究对象）因此g?x?最小值为g?x0?. ①若g?x0??0，x?loga2时，a?axloga2?2，bx?0，则g?x??0；

x?logb2时，ax?0，bx?blogb2?2，则g?x??0；

因此x1?loga2且x1?x0时，g?x1??0，因此g?x?在?x1,x0?有零点，

x2?logb2且x2?x0时，g?x2??0，因此g?x?在?x0,x2?有零点，

则g?x?至少有两个零点，与条件矛盾；

②若g?x0?…0，由函数g?x?有且只有1个零点，g?x?最小值为g?x0?， 可得g?x0??0，由g?0??a0?b0?2?0，因此x0?0， 所以logb??lna?lna???1， ?0，即?lnblnb?a?亦即lna?lnb?0，因此ln?ab??0，则ab?1.

11.（2016全国乙文21）已知函数f?x???x?2?ex?a?x?1?. （1）讨论f?x?的单调性；

（2）若f?x?有两个零点，求a的取值范围.

11.解析 （1）由题意f??x???x?1?ex?2a?x?1?=?x?1?ex?2a.

2??0，即a…0时，e?2a?0恒成立.令f??x??0，则x?1， ①当2a…x所以f?x?的单调增区间为?1,???.同理可得f?x?的单调减区间为???,1?. ②当2a?0，即a?0时，令f??x??0，则x?1或ln??2a?. （ⅰ）当ln??2a??1，即a??e时，令f??x??0，则x?1或x?ln??2a?， 2所以f?x?的单调增区间为???,1?和ln??2a?,??.同理f?x?的单调减区间为

???1,ln??2a??；

（ⅱ）当ln??2a??1，即a??xe时， 21当x?1时，x?1?0，e?2a?e?e?0，所以f??x?…0.同理x?1时，f??x??0. 故f?x?的单调增区间为???,???； （ⅲ）当ln??2a??1，即?e?a?0时.令f??x??0，则x?ln??2a?或x?1， 2所以f?x?的单调增区间为??,ln??2a?和?1,???，同理f?x?的单调减区间为

???ln??2a?,1?.

综上所述，当a??e时，f?x?的单调增区间为???,1?和?ln??2a?,???，单调减区间为2?1,ln??2a??；

当a??当?e时，f?x?的单调增区间为???,???； 2e?a?0时，f?x?的单调增区间为???,ln??2a??和?1,???，单调减区间为2?ln??2a?,1?；

0时，f?x?的单调增区间为?1,???，单调减区间为???,1?. 当a…（2）解法一（直接讨论法）：易见f?1???e?0，如（1）中讨论，下面先研究（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）三种情况.

e时，由f?x?单调性可知，f?ln??2a???f?1??0，故不满足题意； 2e②当a??时，f?x?在???,???上单调递增，显然不满足题意；

2e③当??a?0时，由f?x?的单调性，可知f?1??f?ln??2a??，

2①当a??且fln??2a??ln??2a??2不满足题意；

??????2a??a?ln??2a??1?2?a??ln??2a??2???a?0，故

20， 下面研究a…当a?0时，f?x???x?2?ex，令f?x??0，则x?2，因此f?x?只有1个零点，故舍去；

当a?0时，f?1???e?0，f?2??a?0，所以f?x?在?1,???上有1个零点；

（i）当0?a?1时，由lna?0，而22a3a???a??a?a?a?f?ln???ln?2??a?ln?1??a?ln2?ln??0，

222???2??2?2?2?所以f?x?在???,1?上有1个零点；

（i i）当a?1时，由?2?0，而f??2????4?e所以f?x?在???,1?上有1个零点；

可见当a?0时f?x?有两个零点.所以所求a的取值范围为?0,???. 解法二（分离参数法）：显然x?1不是f?x?的零点， 当x?1时，由f?x??0，得a??2?9a?9a?4?0， e22?x?x?1?xe?x?1?. 2设g?x??2?x?x?1?2ex?x?1?，则问题转化为直线y?a与g?x?图像有两个交点，

2?ex?x?1???x?2??1???，

对g?x?求导得g??x??4?x?1?所以g?x?在???,1?单调递增，在?1,???单调递减. ①当a?0时，若x????,1?，g?x??0，直线y?a与g?x?图像没有交点，

若x??1,???，g?x?单调递减，直线y?a与g?x?图像不可能有两个交点， 故a?0不满足条件；

?13?1??,? ，则g?x1??②若a?0时，取x1?min?1?…a， 2a2???x1?1???而g?2??0?a，结合g?x?在?1,???单调递减， 可知在区间?x1,2?上直线y?a与g?x?图像有一个交点，

?22???,0?，x3??取x2?min?1?，

aa????则g?x2?厖22?x2?1?a，g?x3??2?x32??a， 22x3x3