2018高考数学复习：第3章导数第2节导数的应用(3)（含解析）

第三章 导数

第2节 导数的应用

题型40 方程解(零点)的个数问题

1.（2014江苏19（2））已知函数与a无关的常数），当函数

f?x??x3?ax2?b?a,b?R?．若b?c?a（实数c是

f?x?有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是

???,?3?U??1,3??3??U?,???，求c的值． ?2??2?1.解析 解法一：因b?c?a，故f?x??x3?ax2?c?a， 由（1）得：1?当a?0时，f?x?单调递增，不满足题意；

2?当a?0时，若函数f?x?有三个不同的零点，

??2?43?f极小?f??3a??27a?c?a?0则?恒成立， ???f?极大?f?0??c?a?043??c??a?a从而?对a?(??,?3)恒成立， 27??c?a构造g?a???434a?a，则g'?a???a2?1?0对a?(??,?3)恒成立， 279故g?a?单调递减，从而g?a??g??3??1，故?3剟c1． 3?当a?0时，若函数f?x?有三个不同的零点，

??2?43f?fa?c?a?0??a???极大327则?恒成立， ???f?极小?f?0??c?a?043??c??a?aa??1,3?U?3,???从而?对27????恒成立，

22??????c?a构造g?a???43a?a， 27424?29?4?3??3?g'a??a?1??a???a?a???则??????，

99?4?9?2??2?令g?a??0，则1?a?3， 2?3??3?1,,??故g?a?在?上单调递增，在???上单调递减， 22????则g?a??c…1?3?g???1，从而?，即c?1． ?2???c?1综上得c?1．

解法二：因b?c?a，故f?x??x3?ax2?c?a， 由（1）得：1?当a?0时，f?x?单调递增，不满足题意；

2?当a?0时，若函数f?x?有三个不同的零点，

?2??43?f?f?f?a?f0?a?c?a??则只需保证极大极小?????c?a??0，

?3??27?又实数a的解集为???,?3?U?1,?3??3?U,?????， ?2??2??43?3a?c?a??c?a??0的三个实数根， 因此a1??3，a2?1，a3?是方程?2?27?易知该方程必有一根a?c， 从而若c??3时，则??43?a?3?a???3?a??0，验证知a2?1不为其根，故舍； ?27??43?a?1?a??1?a??0，验证知a1??3，a3?3是其根， 若c?1时，则?2?27?验证不等式?2?43?a?1?a??1?a??0，即?a?3??2a?3??1?a??0， ?27?2?3??3??,?3U??1,?U?,???即?a?3??2a?3??a?1??0，其解集为??，满足题意；

22?????433??3?3a??a?a若c?时，则?????0，验证知a2?1不为其根，故舍．

22?27??2?综上得c?1．

解法三：因b?c?a，故f?x??x3?ax2?c?a， 由（1）得： 1?当a?0时，f?x?单调递增，不满足题意；

2?当a?0时，若函数f?x?有三个不同的零点，

??2?43?43f?fa?c?a?0??a???极小?a?c?a?0则?，从而?27， ?3?27??f?a?c?极大?f?0??c?a?0根据a的取值范围可知：a??3是方程

43a?c?a?0的根，因此c?1． 273?当a?0时，若c?1，则根据函数f?x?有三个不同的零点，

?2?2?43?f?f?a?a?c?a?0a?32a?3?0????????极大327则必有?，即． ?????a?1?f?f0?c?a?0???极小因此解得a??3或1?a?综上得c?1．

评注 （2）的解法一将该问题转化到恒成立解决；解法二将问题统一归类转化到不等式的解集，进而转化到等式（方程）的根；解法三亦是将问题转化到不等式的解集问题进行解决．

33或a?，符合题意． 22x2?klnx,k?0. 2.（2015北京文19（2））设函数f?x??2证明：若

f?x?存在零点，则f?x?在区间1,e上仅有一个零点.

k?lnk?0，解得k…e. ?k??0即k22??2. 解析 若f?x?存在零点，则f又f?1????且函数f?x?在区间?1,e?上单调递减，所以f?x?在区间?1,?e?21?0，f2ee?k?klne??0， 22e??上仅有一个零点.

3.（2015广东文21（3））设a为实数，函数f?x???x?a??x?a?a?a?1?． 当a…2时，讨论f?x??4在区间?0,???内的零点个数． x3.解析 由（2）得f(x)在(a,??)上单调递增，在(0,a)上单调递减， 所以f(x)min?f(a)?a?a.

2??x?3x,x…2(i)当a?2时，f(x)min?f(2)??2，f(x)??2.

??x?5x?4,x?244令f?x??=0，即f(x)???x?0?.

xx2因为f(x)在(0,2)上单调递减，所以f(x)?f(2)??2. 而y??44在(0,2)上单调递增，y????2. x24在(0,2)无交点. x所以在?0,2?上y?f?x?，故y?f(x)与y??当x…2时，f(x)?x2?3x??432，即x?3x?4?0. x2322所以x?2x?x?4?0，所以?x?2?(x?1)?0.因为x…2，所以x?2.

故当a?2时，f?x??4有一个零点x?2. x2(ii)当a?2时，f(x)min?f(a)?a?a， 当x?(0,a)时，f(0)?2a?4 ，f(a)?a?a，

244在x?(0,a)上单调递增，当x?a时，y??. xa42下面比较f(a)?a?a与?的大小：

a而y??4?(a3?a2?4)因为a?a?(?)??

aa?(a?2)(a2?a?2)?0，

a2yy=f(x)x=a所以f(a)?a?a2??4. a4有两个交xO结合图像可知当a?2时，y?f(x)与y??点.

综上，当a?2时，f?x??时，y?f(x)与y??xy=-4x4有一个零点x?2；当a?2x4有两个零点. x4.（2015新课标Ⅰ卷文21（1））设函数

f?x??e2x?alnx.讨论f?x?的导函数f??x?零