2019-2020学年广东省中山市纪念中学九年级(上)期末数学试卷

24．（10分）如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，射线EF与线段AB相交于点G，与射线CA相交于点Q． （1）求证：△BPE∽△CEQ； （2）求证：QE平分∠CQP；

（3）当BP＝2，CQ＝9，求PQ的长．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（11，?12）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，8）． （1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）连接AC，在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

25

2019-2020学年广东省中山市纪念中学九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分） 1．【解答】解：A、不是中心对称图形； B、是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、不是中心对称图形 故选：B．

2．【解答】解：由图象可知随着实验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618． 故选：B．

3．【解答】解：由根与系数的关系可知：3x2＝﹣3， 解得x2＝﹣1． 故选：C．

4．【解答】解：∵k＝﹣2＜0，

∴反比例函数图象的两个分支在第二四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大； 又∵B（1，y2）、C（2，y3）是双曲线上的两点，且2＞1＞0，∴y2＜y3＜0； 又∵点A（?√2，y1）在第二象限，故0＜y1， ∴y2＜y3＜y1． 故选：D．

5．【解答】解：连接OC，如图所示： ∵直径AD⊥BC， ?=?????， ∴????

∴∠AOB＝∠AOC， ∵∠AOC＝2∠D＝60°， ∴∠BOC＝2∠AOC＝120°， ?的长=∴????故选：C．

120??×3

=2π； 180

6．【解答】解：根据题意得：△＝b2﹣4ac＝4﹣8（k﹣1）＝12﹣8k＞0，且k﹣1≠0， 解得：k＜2且k≠1． 故选：C．

7．【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×5÷2＝15π． 故选：A．

8．【解答】解：如右图所示，边长AB＝2； 又该多边形为正六边形， 故∠OBA＝60°，

在Rt△BOG中，BG＝1，OG=√3， 所以AB＝2，

即半径、边心距之比为 √3：2． 故选：C．

3

9．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，由题意得：

??15

=

1.50.5

，

解得：x＝45，

答：竹竿的长度为45尺， 故选：B．

10．【解答】解：由图象可知，AD＝BC＝BE＝5，CD＝AB＝4，AE＝3，DE＝2， A、∴AB：AD＝5：4，故A错误， B、∵tan∠ABE=????=4，

????

3

∴∠ABE≠30° ∴∠PBQ≠60°，

∴点P在ED时，有可能△PBQ是等边三角形， ∵BE＝BC，

∴点P到点E时，点Q到点C，

∴点P在线段AD中点时，有可能△PBQ是等边三角形， ∵AE＞DE，

∴点P不可能到AD的中点，

∴△PBQ不可能是等边三角形，故B错误， C、∵△ABE∽△QBP， ∴点E只有在CD上，且满足∴=

45

????3

????

????

=

????????

，

，

∴CP=4．

∴t＝（BE+ED+DQ）÷1＝5+2+（4?故C错误， D、①如图（1）

1529）=． 4415

在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝5 sin∠AEB=

????4

=， ????54

∴sin∠CBE=5 ∵BP＝t，

∴PG＝BPsin∠CBE=5t，

∴S△BPQ=2BQ×PG=2×t×5t=5??2=4，

1

1

4

2

4