2019-2020年高考数学一轮复习第三章导数及其应用第4讲定积分的概念与微积分基本定理理

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又知S＝，所以(1－k)＝，

623314

于是k＝1－ ＝1－. 22

13．在区间[0,1]上给定曲线y＝x.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．

解 面积S1等于边长为t与t的矩形面积去掉曲线y＝x与x轴、直线x＝t所围成的面积， 2322

即S1＝t·t－?txdx＝t.

3?

0

2

2

2

S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别

为t1－t，

231222

即S2＝?1xdx－t(1－t)＝t－t＋. 33?

t2,

4321

所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝t－t＋(0≤t≤1)．

331?1?2

令S′(t)＝4t－2t＝4t?t－?＝0时，得t＝0或t＝.

2?2?

t＝0时，S＝；t＝时，S＝；t＝1时，S＝. 11

所以当t＝时，S最小，且最小值为.

24

14. 已知二次函数f(x)＝3x－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且0

(2)定义函数h(x)＝S(x)，x∈R.若过点A(1，m)(m≠4)可作曲线y＝h(x)(x∈R)的三条切线，求实数m的取值范围．

2

13121423

??y＝3x－3x，

解析 (1)由?

?y＝3tx?

2

得x－(t＋1)x＝0，

2

所以x1＝0，x2＝t＋1.

所以直线l2与f(x)的图象的交点的横坐标分别为0，t＋1. 因为0

所以S(t)＝∫0[3tx－(3x－3x)]dx＋?2t＋1[(3x－3x)－3tx]dx

t＋1

2

2

?

＝

???

3

＋2

?＋1＋x－x???t0

2

3

??

?x3－

??

＋2

? x???2t＋1

2

??

＝(t＋1)－6t＋2.

(2)依据定义，h(x)＝(x＋1)－6x＋2，x∈R， 则h′(x)＝3(x＋1)－6.

因为m≠4，则点A(1，m)不在曲线y＝h(x)上． 过点A作曲线y＝h(x)的切线，设切点为M(x0，y0)， 则3(x0＋1)－6＝32

2

3

x0＋

－6x0＋2－m，

x0－1

3

化简整理得2x0－6x0＋m＝0，其有三个不等实根． 设g(x0)＝2x0－6x0＋m，则g′(x0)＝6x0－6. 由g′(x0)>0，得x0>1或x0<－1； 由g′(x0)<0，得－1

所以g(x0)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减， 所以当x0＝－1时，函数g(x0)取极大值； 当x0＝1时，函数g(x0)取极小值．

??g因此，关于x0的方程2x－6x0＋m＝0有三个不等实根的充要条件是?

?g?

3

0

3

2

－，，

??m＋4>0，即?

?m－4<0，?

即－4

故实数m的取值范围是(－4,4)．