最新-广东省广州市2018年普通高中毕业班综合测试(一)文科数学试题及答案 精品

28?x02将y?代入（※）得t?4?0．………………………………………11分

220解得t?2或t??2．

故存在点P?2,0?或P??2,0?，无论非零实数k怎样变化，总有?MPN为直角． ………………………………12分 解法三：因为椭圆C的左顶点为A，则点A的坐标为?22,0．……………5分

??x2y2??1交于两点E，F， 因为直线y?kx(k?0)与椭圆84设点E22cos?,2sin?（0????），则点F?22cos?,?2sin?．……6分 所以直线AE的方程为y?????2sin?x?22．………………………7分

22cos??22??因为直线AE与y轴交于点M，

令x?0得y?2sin??2sin??，即点M?0,?．………………………………8分

cos??1?cos??1?2sin???．………………………………………………………9分

cos??1?同理可得点N?0,??假设在x轴上存在点P(t,0)，使得?MPN为直角，则MP?NP?0．………10分

?2sin??2sin???0，即t2?4?0．…………………………………11分

cos??1cos??1解得t?2或t??2．

即t?2故存在点P?2,0?或P??2,0?，无论非零实数k怎样变化，总有?MPN为直角． ………………………………12分

（21）（本小题满分12分）

已知函数f?x??me?lnx?1.

x（Ⅰ）当m?1时，求曲线y?f?x?在点1，f?1?处的切线方程； （Ⅱ）当m?1时，证明：f?x??1.

解析：（Ⅰ）解：当m?1时，f(x)?e?lnx?1，

x??

所以f?(x)?ex?1．………………………………………………………………1分 x所以f(1)?e?1，f?(1)?e?1. …………………………………………………2分 所以曲线y?f(x)在点1，f?1?处的切线方程为y?(e?1)?(e?1)(x?1)． 即y??e?1?x.………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：当m?1时，f(x)?me?lnx?1?e?lnx?1.

要证明f(x)?1，只需证明ex?lnx?2?0.……………………………………4分 以下给出三种思路证明ex?lnx?2?0. 思路1：设g(x)?e?lnx?2，则g?(x)?ex?设h(x)?ex?xxx??1. x11，则h?(x)?ex?2?0， xx1所以函数h(x)?g?(x)?ex?在上单调递增．…………………………6分 （0，+?）x?1?因为g????e2?2?0，g?(1)?e?1?0，

?2?所以函数g?(x)?ex?11?1?在上有唯一零点x0，且x0??,1?.…………8分 （0，+?）x?2?x0因为g?(x0)?0时，所以e?1，即lnx0??x0.………………………………9分 x0当x??0,x0?时，g?(x)?0；当x??x0,???时，g?(x)?0.

所以当x?x0时，g(x)取得最小值g?x0?．……………………………………10分 故g(x)?g?x0?=e0?lnx0?2?x1?x0?2?0． x0综上可知，当m?1时，f?x??1.………………………………………………12分 思路2：先证明e?x?1?x?R?．………………………………………………5分 设h?x??e?x?1，则h??x??e?1．

xxx

因为当x?0时，h??x??0，当x?0时，h??x??0，

所以当x?0时，函数h?x?单调递减，当x?0时，函数h?x?单调递增． 所以h?x??h?0??0．

所以e?x?1（当且仅当x?0时取等号）．………………………………………7分 所以要证明ex?lnx?2?0，

只需证明?x?1??lnx?2?0．……………………………………………………8分 下面证明x?lnx?1?0． 设p?x??x?lnx?1，则p??x??1?x1x?1． ?xx当0?x?1时，p??x??0，当x?1时，p??x??0，

所以当0?x?1时，函数p?x?单调递减，当x?1时，函数p?x?单调递增． 所以p?x??p?1??0．

所以x?lnx?1?0（当且仅当x?1时取等号）．………………………………10分

由于取等号的条件不同， 所以e?lnx?2?0．

综上可知，当m?1时，f?x??1.………………………………………………12分 （若考生先放缩lnx，或e、lnx同时放缩，请参考此思路给分！） 思路3：先证明e?lnx?2.

因为曲线y?e与曲线y?lnx的图像关于直线y?x对称，

设直线x?t?t?0?与曲线y?e，y?lnx分别交于点A，B，点A，B到直线y?x 的距离分别为d1，d2， 则AB?2?d1?d2?． 其中d1?

et?t2xxxxx，d2?t?lnt2?t?0?．

①设h?t??et?t?t?0?，则h??t??et?1． 因为t?0，所以h??t??et?1?0．

所以h?t?在?0,???上单调递增，则h?t??h?0??1． 所以d1?et?t2?2． 21t?1②设g?t??t?lnt?t?0?，则g??t??1??．

tt因为当0?t?1时，g??t??0；当t?1时，g??t??0，

所以当0?t?1时，g?t??t?lnt单调递减；当t?1时，g?t??t?lnt单调递增． 所以g?t??g?1??1． 所以d2?t?lnt2?2． 2?22??所以AB?2?d1?d2??2???2??2． 2??综上可知，当m?1时，f?x??1.………………………………………………12分

证法二：因为f(x)?me?lnx?1，

要证明f?x??1，只需证明me?lnx?2?0.…………………………………4分

xx以下给出两种思路证明me?lnx?2?0. 思路1：设g(x)?me?lnx?2，则g?(x)?mex?设h(x)?mex?xx1. x11，则h?(x)?mex?2?0． xx1所以函数h?x??g??x??mex?在?0，+??上单调递增．……………………6分

x11??1??2m2m?g?me?2m?me?2因为????0，g??1??me?1?0， ??2m???所以函数g?(x)?mex?

1?1?,1?.……8分 在?0，+??上有唯一零点x0，且x0??x?2m?