北京市朝阳区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)

（2）的所有可能取值为，，．

，

所以的分布列为

所以的期望（3）答案不唯一．

答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下： 该选手获得100分的概率是

，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分．

．

，

．

答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下： 该选手获得100分的概率是不会得到100分．

【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力. 19.如图，在四棱锥

，

中，底面

是边长为的菱形，

，

平面

，

，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手

，为的中点．

（1）求证：；

（2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）判断直线与平面

的位置关系，请说明理由．

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【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）相交，理由见解析．

【解析】 【分析】

（1）根据题意先证明

平面

，即可得到答案；

（2）以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点且与平行的直线为轴， 建立空间直角坐标系，求出、的坐标，利用公式即可得到结果；

（3）求出平面

的一个法向量与向量，根据

与零的关系，作出判断.

【详解】（1）连结． 因为底面是菱形 ，所以. 又因为平面，

平面

，

所以.

又因为， 所以平面. 又因为平面

， 所以

.

（2）设，交于点. 因为底面是菱形 ， 所以， 又因为平面， 所以

，

.

如图，以为坐标原点，以为轴，以为轴，以过点且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系

，

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则，.

，，， ， ，

则，，

， ，

设异面直线与所成角为，则

所以与所成角的余弦值为（3）直线与平面由（2）可知，设平面则

的一个法向量为

即

.

相交.证明如下：

，

，

令

，得

．

，

，

则

所以直线与平面

相交．

，

【点睛】本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题. 20.已知椭圆

过点

，且椭圆的一个顶点的坐标为

．过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于不同的两点，（，不同于点），直线与直线：

交于点．连接，过点作的垂线与直线交于点．

（1）求椭圆的方程，并求点的坐标； （2）求证：，，三点共线． 【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）根据题意列方程组

，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；

，

；（2）证明见解析.

（2）讨论直线的斜率，利用是平行的证明，，三点共线．

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【详解】（1） 因为点在椭圆上，且椭圆的一个顶点的坐标为

，

所以

解得

所以椭圆的方程为

．

所以椭圆的右焦点的坐标为

．

（2）① 当直线的斜率不存在时，直线的方程为．

显然，，

或

，

．

当，

时，直线的方程为，点的坐标为．

所以

．

直线的方程为，点的坐标为

．

则，

．

所以，所以，，三点共线．

同理，当

，

时，，，三点共线．

② 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由得

．

且．

设

，

，则

，

． 直线的方程为，点的坐标为

．

所以

．

直线的方程为，点的坐标为

．

则，

．

所以

，

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