第45讲空间图形的位置关系题目

第5讲 空间图形的位置关系

本节主要内容有空间的平面与直线的位置关系；共面直线；异面直线的定义、所成角、公垂线与距离等．

A类例题 例1 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（ ）（2005年高考·全国卷·理科） （A）18对

（B）24对

（C）30对

（D）36对

分析 先考虑什么样的直线是异面直线，然后对这些异面直线适当分类，计数要不重不漏． 解法一 （加法）

（1）与A1B1成异面直线的有5对，同理与A1C1、B1C1成异面直线的各有5对；这样与上底面的三条直线成异面直线的有15对；

（2）与AB，AC，BC成异面直线的有9对（除去与（1）重复的）； （3）与侧棱AA1、BB1、CC1成异面直线的有6对（除去与（1）（2）重复的）；

（4）侧面对角线之间成异面直线的有6对； 所以异面直线总共有36对，选D． 解法二 （减法）

（1）共一顶点的共面直线有6C5＝60对； （2）侧面互相平行的直线有6对； （3）侧面的对角线有3对共面；

所以异面直线总共有C15－60－6－3＝36对，选D．

例2 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ①BM与ED平行；

②CN与BE是异面直线； ④DM与BN垂直．

EABFMF2

2

C1B1A1CBANDCM③CN与BM成60°角；

以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） A．①②③

B．②④

C．③④

D．②③④

（2002年高考·上海卷·春季）

分析 把正方体复原，然后考察命题正确与否．

解 从还原后的图可知BM与ED是异面直线，故①不成立，而CN∥BE，故②不成立．由排除法知C为正确答案．

NEDABC 说明 △CAN为正三角形，而BM∥AN，所以③成立．BM在平面ABFE上的射影为BE，AF⊥BE，所以AF⊥BN，又DM∥AF，所以④成立．

例3 对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD； ③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD； ④若AB⊥CD，BD⊥AC，则BC⊥AD．

A其中真命题的序号是__________（写出所有真命题的序号）

（2003年高考·河南卷）

解 如右图，则△ABC和△DBC是以BC为底边的两个等腰三角形，作

BECABC中点E，则BC⊥AE，BC⊥DE，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AD，故①真．

若②成立，由AH1⊥BC于H1，DH2⊥BC于H2．由△ABC≌△DCB知

DBH1＝CH2，若AB≠AC，则H1与H2不重合．但由BC⊥AD知BC⊥平面AED，∴BC⊥DE，即DE为△DBC中BC边上的高，∴点E即为点H2．即点H1与点H2重合，矛盾．故②不成立．

同上，若③成立，则由A作BC的垂线和由D作BC的垂线，垂足应该

BH1H2CD相同，但是由“AB⊥AC，BD⊥CD”，设AB＜AC，CD＜BD，则垂足不重合．矛盾．故③不成立．

作AH⊥平面BCD于H，连接BH并延长交CD于M．由AB⊥CD知

ACD⊥平面AMB，故CD⊥BM．同理连接CH并延长交BD于N，BD⊥CN．故H为△BCD的垂心，∴DH⊥BC，∴AD⊥BC．故④成立．

说明 本题考察四面体中线段的基本关系，要熟练利用线面垂直的性质

CBNDHM与判定．

情景再现

1

已知直线l⊥平面α，直线m??平面β，有下面四个命题：

①α∥β?l⊥m，②α⊥β?l∥m，③l∥m ?α⊥β，④l⊥m ?α∥β．其中正确的两个命题是 A．①与②

B．③与④

C．②与④

D．①与③

（1995年高考·全国卷·理） 2

如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱的12条边所在的直线中异面直线共有( )

A．12对

B．24对

C．36对

D．48对

3 如图，E，F分别为正方体面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFF1E在该正方形的面上的射影可

能是__________．（要求：把可能的图的序号都填上）

① ② ③ ④

（2000年高考·全国卷·理）

B类例题 例4 如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有 A．0条

B．1条

C．多于1的有限条

D．无穷多条

（1997年全国高中数学联赛）

解：在c上任取点A，过a，A和b，A分别作平面α和β，则α与β有公共点A则必有过A的公共直线d．若d不平行于a，b，则d必与a，b相交，则d为所求直线．由于A可在直线c上任意取，故选D．

说明 这些与a，b，c都相交的直线彼此异面，你能证明吗？

AECF

例5 如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得＝＝λ，

EBFD记f（λ）＝αλ＋βλ，其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，则 A．f（λ）在（0，＋∞）单调增加 B．f（λ）在（0，＋∞）单调减小

C．f（λ）在（0，1）单调增加，而在（1，＋∞）单调减小 D．f（λ）在（0，＋∞）为常数

（1997年全国高中数学联赛）

AECGCF

解 过E作EG∥AC，连接FG．故＝＝，EBGBFD∴GF∥BD．

∠GEF即是EF与AC所成的角，∠GFE即是EF与BD所成的角，（易知∠GEF和∠GFE都不是钝角），∴αλ＋βλ＝180°－∠EGF，而∠EGF是直角．故选D．

说明 本题如果单独考虑EF与AC所成的角或EF与BD所成的角都非常麻烦，用平移的方法把

A E B G C F D 这两个角表达出来并放到同一个三角形中，问题得以解决．

例6 如图，A1B1C1-ABC是直三棱柱，过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l．判定直线A1C1和l的位置关系，并加以证明．

（1993年高考·全国·理） 解：A1C1∥l，证明如下：

∵平面A1C1B∩平面ABC＝l，且A1C1∥平面ABC，

∴A1C1与l在同一个平面A1C1B内，但无公共点，∴A1C1∥l．

BCB1C1A1A情景再现

4

空间有两个有一条公共边的正方形ABCD和ADEF．在BD上取一点M，在AE上取一点N，并使BM＝AN

，那么①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN，CE异面

以上4个结论中不正确的结论的个数为（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

（2001年高考·山东卷）

5 6

已知4个不共面的点，在空间能作多少个平面，使各点到该平面的距离相等？ 三个平面可将空间分成几部分？

C类例题 例7 空间三个圆彼此相切（指两圆有一个公共点，并在这点有公共切线），且所有三个切点是不同的．证明：这三个圆在一个球面上，或者在一个平面内．

分析：若把过圆心并和圆所在的平面垂直的直线叫做这圆的轴，则轴上任意一点到这个圆所有的点的距离都相等．两个相切的圆的两条轴都在通过圆的切点且和公切线垂直的平面内．这两条轴是平行还是相交决定这两个圆在一个平面内或在一个球面上．由两个圆的情况进而可讨论三个圆的情况．

证明：首先证明两个彼此相切的圆，或者在一个平面内，或者在一个球面上． 过两圆的圆心分别作两圆的轴O1A1和O2A2，再过切点M作两圆的公切线ST． ∵ST⊥O1M或O2M，ST⊥O1A1或O2A2． ∴ST垂直于O1A1和O2A2确定的平面P．

即O1A1和O2A2在过圆的切点M且和公切线垂直的平面P内．

当O1A1∥O2A2时，⊙O1所在平面和⊙O1所在平面重合，即两圆在一个平面内．

当O1A1和O2A2相交，设交点为V，连接VM，则点V与⊙O1和⊙O1圆周上任意一点的连线长都等于VM．因此两圆在以V为圆心，VM为半径的球面上．

根据上面证明，三个圆中，每两个圆确定一个平面或确定一个球面，下面证明三对圆确定同一个平面