2018年中考数学真题分类汇编(第三期)专题26 图形的相似与位似试题(含解析)

上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH．当∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH= ．

【分析】作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再证明∠ABH=∠CAH，则可根据“AAS”证明△ABE≌△CAH，所以BE=AH，AE=CH，在Rt△AHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=AH，AE=

AH，则CH=

AH，于是在Rt

△AHC中利用勾股定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，AE=CH=Rt△BFH中计算出HF=，BF=利用比例性质可得到DH的长．

【解答】解：作AE⊥BH于E，BF⊥AH于F，如图， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°，

∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°， ∴∠ABH=∠CAH， 在△ABE和△CAH中

，

∴△ABE≌△CAH， ∴BE=AH，AE=CH，

在Rt△AHE中，∠AHE=∠BHD=60°， ∴sin∠AHE=

，HE=AH，

AH，

，BH=1，接下来在

=2，从而

，然后证明△CHD∽△BFD，利用相似比得到

∴AE=AH?sin60°=∴CH=

AH，

2

在Rt△AHC中，AH+（∴BE=2，HE=1，AE=CH=

AH）=AC=（，

22

），解得AH=2，

2

9

∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1， 在Rt△BFH中，HF=BH=，BF=∵BF∥CH， ∴△CHD∽△BFD， ∴

=

=

=2，

，

∴DH=HF=×=． 故答案为．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质．

5．（2018·辽宁省抚顺市）（3.00分）如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，﹣6），点M为OB的中点．以点O为位似中心，把△AOB缩小为原来的，得到△A′O′B′，点M′为O′B′的中点，则MM′的长为

或

．

【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题； 【解答】解：如图，在Rt△AOB中，OB=

=10，

10

①当△A′OB′在第三象限时，MM′=． ②当△A″OB″在第二象限时，MM′=故答案为或

．

，

【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

6.（2018·江苏常州·2分）如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是 3≤AP＜4 ．

【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围． 【解答】解：如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB， 此时0＜AP＜4；

如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC， 此时0＜AP≤4；

如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA， 此时，△CPG∽△CBA，

当点G与点B重合时，CB=CP×CA，即2=CP×4，

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2

2

∴CP=1，AP=3， ∴此时，3≤AP＜4；

综上所述，AP长的取值范围是3≤AP＜4． 故答案为：3≤AP＜4．

【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．

三.解答题

1.（2018·广西梧州·10分）如图，AB是⊙M的直径，BC是⊙M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交⊙M于点G，过点C作DC⊥BC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E． （1）求证：△ABE∽△BCD； （2）若MB=BE=1，求CD的长度．

【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；

（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD．

【解答】（1）证明：∵BC为⊙M切线 ∴∠ABC=90° ∵DC⊥BC ∴∠BCD=90° ∴∠ABC=∠BCD ∵AB是⊙M的直径 ∴∠AGB=90° 即：BG⊥AE ∴∠CBD=∠A ∴△ABE∽△BCD

（2）解：过点G作GH⊥BC于H

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