2018年高考数学压轴题小题

故答案为：6

13．（2018?浙江）已知λ∈R，函数f（x）=

，当λ=2时，不等式f（x）＜0的解集

是 {x|1＜x＜4} ．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是 （1，3]∪（4，+∞） ． 【解答】解：当λ=2时函数f（x）=

，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2

≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．

函数f（x）恰有2个零点， 函数f（x）=

的草图如图：

函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4． 故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．

14．（2018?浙江）已知点P（0，1），椭圆时，点B横坐标的绝对值最大．

【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 由P（0，1），

=2

，

+y2=m（m＞1）上两点A，B满足

=2

，则当m= 5

可得﹣x1=2x2，1﹣y1=2（y2﹣1）， 即有x1=﹣2x2，y1+2y2=3， 又x12+4y12=4m，

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即为x22+y12=m，① x22+4y22=4m，②

①﹣②得（y1﹣2y2）（y1+2y2）=﹣3m， 可得y1﹣2y2=﹣m， 解得y1=则m=x22+（即有x22=m﹣（

，y2=

，

）2，

）2=

=

，

即有m=5时，x22有最大值4， 即点B横坐标的绝对值最大． 故答案为：5．

15．（2018?浙江）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成 1260 个没有重复数字的四位数．（用数字作答） 【解答】解：从1，3，5，7，9中任取2个数字有从2，4，6，0中任取2个数字不含0时，有可以组成

种方法，

种方法，

=720个没有重复数字的四位数；

=540，

含有0时，0不能在千位位置，其它任意排列，共有故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数． 故答案为：1260．

三．解答题（共2小题）

16．（2018?上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x． （1）若f（x）为偶函数，求a的值； （2）若f（

）=

+1，求方程f（x）=1﹣

在区间[﹣π，π]上的解．

【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x， ∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x， ∵f（x）为偶函数， ∴f（﹣x）=f（x），

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∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x， ∴2asin2x=0， ∴a=0； （2）∵f（∴asin∴a=

）=

+1， ）=a+1=

+1，

+2cos2（，

∴f（x）=

sin2x+2cos2x=， ）+1=1﹣）=﹣

，

sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，

∵f（x）=1﹣∴2sin（2x+∴sin（2x+∴2x+∴x=﹣

=﹣

，

+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，

π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，

∵x∈[﹣π，π]， ∴x=

17．（2018?浙江）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（﹣，﹣）．

（Ⅰ）求sin（α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin（α+β）=

，求cosβ的值．

或x=

或x=﹣

或x=﹣

【解答】解：（Ⅰ）∵角α的顶点与原点O重合，始边与x轴非负半轴重合，终边过点P（﹣，﹣）． ∴x=﹣，y=

，r=|OP|=

； ，r=|OP|=1， ， ，

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，

∴sin（α+π）=﹣sinα=（Ⅱ）由x=﹣，y=得

，

又由sin（α+β）=

得=，

， ．

则cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=或cosβ=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=∴cosβ的值为

或

．

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