2010年高中数学联赛预赛试题汇编

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案

（高一年级）

说明：

1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．设集合E??x|sinx|?2．已知函数f(x)???1?4??,x?(?,)?，则E的真子集的个数为 15 ． 233?6x?b9的最大值为，则实数b? 5 ．

4x2?43．若|lg?|?1，则使函数f(x)?sin(x??)?cos(x??)为奇函数的?的个数为 3 ．

4．在△ABC中，已知?B的平分线交AC于K．若BC=2，CK=1，BK?32，则2△ABC的面积为

15716．

*5．数列{an}满足：a1?1,a2?3，且an?2?|an?1|?an(n?N)．记{an}的前n项

和为Sn，则S100? 89 ．

6．已知OA?a，OB?b，过O作直线AB的垂线，垂足为P．若|a|?3,|b|?3，

?AOB??6，OP?xa?yb，则x?y? -2 ．

7．已知实数x,y,z满足xyz?32，x?y?z?4，则|x|?|y|?|z|的最小值为 12 ．

8．将总和为200的10个数放置在给定的一个圆周上，且任意三个相邻的数之和不小于58．所有满足上述要求的10个数中最大数的最大值为 26 ．

二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）

9．已知二次函数f(x)?ax?bx?c的图象经过点(?2,0)，且不等式

2 1

2x?f(x)?12x?2对一切实数x都成立． 2（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若对一切x?[?1,1]，不等式f(x?t)?f()恒成立，求实数t的取值范围． 解（1）由题设知，4a?2b?c?0． ① 令2x?x2121x?2，解得x?2，由题意可得2?2?f(2)??22?2，即224?f(2)?4，所以f(2)?4，即4a?2b?c?4． ②

由①、②可得c?2?4a,b?1． ……………………4分 又f(x)?2x恒成立，即ax?(b?2)x?c?0恒成立，所以a?0，且

2??(b?2)2?4ac?0，即(1?2)2?4a(2?4a)?0，所以a?因此函数f(x)的解析式为 f(x)?1，从而c?2?4a?1． 412x?x?1． ……………………8分 42x11?x?x（2）由f(x?t)?f()得(x?t)2?(x?t)?1?????1，

244?2?2整理得 (x?2t)(x?当?2t??2t?8)?0． 32t?82t?8即t?2时，?2t?x??，此不等式对一切x?[?1,1]都成立33t??1???2的充要条件是?2t?8，此不等式组无解．

??1?3?2t?82当?2t??即t?2时，(x?2t)?0，矛盾． ……………………12分

32t?82t?8当?2t??即t?2时，??x??2t，此不等式对一切x?[?1,1]都成立

33?2t?851????1的充要条件是?，解得??t??． 322???2t?1综合可知，实数t的取值范围是??

10．已知数列{an}中，a1?1,a2?1??5,??． ……………………16分

2??21，且 4 2

(n?1)anan?1?n?a(n?2,3,4,?)．

n（1）求数列{an}的通项公式； n（2）求证：对一切n?N*，有

?a2k?76． k?1解 （1）由已知，对n?2有

1n?ana?n?1(n?1)a?n(n?1)a?1，

nnn?1两边同除以n，得

111na?(n?1)a?n?1)， n?1nn(即

1na?11)a??(1?1)， ……………………5分 n?1(n?nn?1nn?1于是，???1?1?n?1??k?2?kak?1(k?1)a?k????1?1????(1?1)， k?2?k?1k?n?1即

111(n?1)a???(1?),n?2，

na2n?1所以

1(n?1)a?1?(1?1)?3n?2，a1n?,n?2．

na2n?1n?13n?2又n?1时也成立，故a1n?3n?2,n?N*． ……………………10分（2）当k?2，有

a21k?(3k?2)2?1111(3k?4)(3k?1)?3(3k?4?3k?1)，………………15分

所以n?2时，有

?nna2?1??a21?111111?kk?1?k?1k?23??(2?5)?(5?8)???(3n?4?3n?1)??

?1?1?3?1?2?1?3n?1???1?16?76.

又n?1时，a271?1?6. 故对一切n?N*，有

?na27k?6． ……………………20分k?13

11．设P?x?6x?11x?3x?31，求使P为完全平方数的整数x的值． 解 P?(x?3x?1)?3(x?10)．

所以，当x?10时，P?131是完全平方数． ……………………5分 下证没有其它整数x满足要求．

（1）当x?10时，有P?(x?3x?1)，

又P?(x?3x)?2x?3x?31?0，所以P?(x?3x)， 从而(x?3x)?P?(x?3x?1)．

又x?Z，所以此时P不是完全平方数． ……………………10分 （2）当x?10时，有P?(x?3x?1)．令P?y,y?Z，

2则|y|?|x?3x?1|，即|y|?1?|x?3x?1|，

222222222222222224322所以 y?2|y|?1?(x?3x?1)， 即 ?3(x?10)?2|x?3x?1|?1?0．

解此不等式，得x的整数值为?2,?1,0,?3,?4,?5,?6，但它们对应的P均不是完全平方数．

综上所述，使P为完全平方数的整数x的值为10. ……………………20分

2222

4