2019-2020年高二数学 排列、组合和概率同步教案 新人教A版

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一、本讲进度

第十章 排列、组合和概率 排列组合的综合问题 二、主要内容

较复杂的排列组合问题的求解思路。 三、学习指导

1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的。

较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列。

排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧。

2、排列组合的常见模型有“捆绑法”、“插空法”、错位法“、”分组分配“等。 集合是常用的工具之一。为了将抽象问题具体化，可以从特殊情形着手，通过画格子，画树图等帮助理解。

“正难则反”是处理问题常用的策略。 四、典型例题

例1、 有6本不同的书，按下列方式分配，分别有多少种分配方式？ （1）按一组1本，一组2本，一组3本分成三组；

（2）按一人1本，一人2本，一人3本分成甲、乙、丙三人； （3）均分成三组；

（4）均分成甲、乙、丙三人。 解题思路分析：

本题是分组分配问题，是排列组合的混合题。处理此类问题的关键是正确判断组间是排列还是组合问题即是有序还是无序。

（1）由于各组内元素不同，所以组间无法交换，属组间组合问题，其分法种数由分步计数原理得：

N=C6C5C3=60（种）

（2）本题分成三组后，分配给甲、乙、丙三个不同的人，属于组间排列问题。第一步分组，方法有C6C5C3，第二步分配，方法有A3种，由分步计数原理，分法种数为： N=C6C5C3A3=360（种）

（3）因分组后，组与组交换不形成新的方法，属于组间组合问题，在分组基础上去序即可，分法共有： N?C62C42C22A331

2

3

3

1

2

3

3

1

2

3

=15

评注：此题属“均匀分组”题型，其分法种数是在分组的基础上，除以组数的排列数。 （4）此题与（1）题题型相同，分法种数： N=C6C4C2=90（种）

评注：注意（3）、（4）两种题型的差异。

例2、有9名同学排成两行，第一行4人，第二行5人，其中甲必须站在第一行，乙、丙必须站在第二行，问有多少种不同的排法？

解题思路分析：

法一：从特殊位置着手。第一步排第一行：从甲、乙、丙外的6人中选出3人与甲排第一行，有C6A4种排法；第二步排第二行，将其余5人排在第二行，有A5种排法，由分步计数原理，共有N=C6A4A5（种）排法。

法二：从特殊元素着手，第一步甲排第一行，有A4种排法；第二步排乙、丙于第二行，有A5种排法。因排两行与排一行本质相同，故第三步排所剩6人，有A6种排法，由分步计数原理，共有排法：

N=A4A5A6种

评注：解法一体现了先组合再排列的原则，这是处理排列、组合问题的常用思路。 例3、将4个不同的球放入4个不同的盆子内 （1）共有几种放法？

（2）恰有一个盆子未放球，共几种放法？ （3）恰有一个盆子内有2球，共几种放法？ （4）恰有两个盆子内未放球，共有几种放法？ 解题思路分析：

（1）把球作为研究对象，事件指所有球都放完。因每一只球都有四种放法，故由分步计数原理，共有4=256（种）；

（2）问题即为“4个球放入三个盆子，每个盆子内都要放球，共有几种放法？”

第一步是把4只球分成2，1，1三组，共有C4种放法； 第二步把3组球放入三个盆子中去（作全排列），有A4种； 由分步计数原理，共有N=C4A4（种）

评注：第二步应是A4，而不是A3，因还要选从四个盆子中选三个盆子，然后作全排。 （3）仔细审题，认清问题的本质。“恰有一盆子内入2个球”即另三个盆子放2球，也即另外3个盆子恰有一个空盆，因此，“恰有一个盆子放2球”与“恰有一个盆子不放球”是等价的。

（4）先取走两个不放球的盆子，有C4种取法；其次将4球分两类放入所剩2盆；第一类均匀放入，有C4C2种放法；第二步按3，1分组放入，有C4C1A2种放法。故有 N=C4(C4C2+C4C1A2)=84（种）。

例4、现有印有0，1，3，5，7，9六个数字的六张照片，如果允许9可以作6使用，那么从中任意抽出三张可以组成多少个不同的三位数（首位数不为零）。

2

2

2

3

1

22

2

3

1

2

2

3

3

2

3

3

2

41

2

6

2

6

1

3

4

5

3

4

5

2

2

2

解题思路分析：

从特殊元素着手，对三位数是否合9或0分类讨论。第一类，9在内，0不在内。先从除0，9外的四个数字中取两个，再将三个数作全排列，因9可以作6用，最后还要乘以2（在每一种情况下，把9看成6，得一个新数），由分步计数原理，共有C4A3A2种；第二类，9和0同时在内。先从除0，9外的四个数字中选1个，再排0，9及取出的数字，最后再将9作6使用，共有C4A2A2=32（种）；第三类，所取数字中不含9，再根据是否含0讨论，有A4+C4A2A2=48（种）。

由分类计数原理共有72+32+48=152（种）。

例5、用0，1，2，3，4五个数字组成各位数字不重复的五位数，若按由小到大排列，试问：（1）42130是第几个数？（2）第60个数是什么？

解题思路分析：

（1）要知道42130是第几个数，只要知道比它小的有几个数，就基本解决了。根据数的大小比较的原则，比42130小的数可以分成如下几类：

1□□□□，2□□□□，3□□□□型的； 40□□□，41□□□型的； 420□□型的； 4200□型的。

各类的数分别有C3A4，C2A3，C1A2，C1A1个，所以比42130小的数有C3A4+C2A3+C1A2+C1A1=87个，42130是第88个。

（2）万位1的数，即1□□□□型的数，有A4=24个； 万位为2的，同样有A4=24个；

万位为3的也有24个，所以第60个数是万位为3的这一类数中的第12个数，再具体分类：

30□□□型的有A3=6个； 31□□□型的有A3=6个

所以，第12个数是31□□□型的数中最大的一个即为31420。

评注：此类题型称为字典式排列问题，解题的关键在于根据题意正确地进行分类，分类的关键是采用类似查字典的方法，从高位向低位，一位一位地考察各位上所取数字的可能性。

例6、5个成年人，2个小孩，排成一排，两头都是成年人，每个小孩两边都是成年人，且其母女俩一定要相邻的排法有多少种？

解题思路分析：

某母女俩一定相邻，同时与这个女孩相邻的还应有一个成年人，因此第一步从除这位母亲以外的4个成年人中选1人，准备排在这个女孩旁边，有C4种选法；第二步选出的这个人与那位母亲排在女孩两侧，有A2种方法；第三步，把“母女、另一成年人”这个三人小组看成一个整体（因为小组左右位置全是成年人，所以可以看成一个成年人），与其余3个人做全排列，有A4种方法；第四步，让另一个小孩插入四个成年人之间的三个间隔中的一个，有A3

4

1

2

1

33

4

4

1

4

1

3

1

2

1

1

1

4

1

3

1

2

1

1

1

1

2

3

2

1

2

2

3

2

种方法。由分步计数原理，共有C4A2A4A2=576（种）方法。

评注：前边已强调先满足特殊元素成特殊位置的方法，本题的条件较多，因此优先考虑的应是条件最强的要求，或者是谁最特殊就优先满足谁，这样有利于把问题简化。如本题构成特殊的3人小组后，问题就转化为“4个成年人与1个排成一排，两头必是成年人的排法有多少？”

例7、在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法共有多少种？

解题思路分析：

“不小于”意味着大于或等于，由此进行分类讨论：

第一类，A、B间隔6垄，有（1，8），（2，9），（3，10）三种，每一种A、B交换，共有C3A2种；

第二类，A、B间隔7垄，有（1，9），（2，10）两种，每种C2A2种； 第三类，A、B间隔8垄，有（1，10）一种，再交换A、B，有A2种。 由分类计数原理，共有C3A2+C2A2+A2=12（种）

例8、由-1，0，1，2，3这五个数中选三个不同的数组成二次函数y=ax+bx+c的系数。 （1）开口向上的抛物线有几条？ （2）开口向下的抛物线有几条？

（3）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？

（4）与x轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条？ （5）与x轴负轴至少有一个交点的抛物线有多少条？ 解题思路分析：

（1）a>0，b、c可任意选，有C3A4=36（条）；

（2）a<0，a只能取-1，b、c有A4种选法，共有A4=12（条）； （3）a>0且c≠0，共有C3C3C3=27（条）；

（4）ac<0，当a>0，c<0时，a、b、c分别有C3、C3、C1种选法；当a<0，c>0时，a、b、c有C1、C3、C3种选法，共有C3C3C1+C3C3C1=18（条）； （5）“与x轴负半轴至少有一个交点”包含三种情形： 第一类，与x轴正负半轴各有一个交点，由（4）知共有18条；

第二类，过原点与x轴负半轴有一个交点，c=0，ab<0，a、b有A3种选法； ??c?0??b第三类，与x轴负半轴有两个不同交点，则??0

?a?c?a?0?2

1

1

1

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1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

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2

2

1

2

2

1

2

1

2

2

21

2

1

2

1241

∴ b=3，a、c∈{1，2}，有A2条 由分类计数原理，共有18+A3+A2=26条

2

2

2