精选2019届高三数学（理）二轮专题复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形

a＋b－c

3.(20182全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则C＝( )

4A.π 2

B.π 3

2

2

2

222

πC. 4

D.

π 6

1a＋b－c1222

解析 因为S△ABC＝absin C，所以＝absin C.由余弦定理a＋b－c＝2abcos C，得2abcos C＝2absin

242C，即cos C＝sin C.所以在△ABC中，C＝答案 C

22

4.(20182合肥质检)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC

3的外接圆面积为( ) A.4π

B.8π

C.9π

D.36π

π. 4

解析 由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A＋2Rsin Acos B＝2Rsin(A＋B)＝2(R为△ABC的外接圆半径).即2Rsin C＝2.又cos C＝

221

及C∈(0，π)，知sin C＝. 33

22

∴2R＝＝6，R＝3.故△ABC外接圆面积S＝πR＝9π.

sin C答案 C

5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是( ) A.a＝2b C.A＝2B

B.b＝2a D.B＝2A

解析 等式右边＝2sin Acos C＋cos Asin C＝sin Acos C＋sin(A＋C)＝sinAcos C＋sin B. 等式左边＝2sin Bcos C＋sin B，

则2sin Bcos C＋sin B＝sin Acos C＋sin B， 因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0. 所以2sin B＝sin A，根据正弦定理，得a＝2b. 答案 A 二、填空题

6.(20182全国Ⅱ卷)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 解析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0， ∴sinα＋cosβ＋2sin αcos β＝1，① cosα＋sinβ＋2cos αsin β＝0，② ①＋②，得

sinα＋cosα＋sinβ＋cosβ＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1， 1∴sin(α＋β)＝－.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

答案 － 2

7.(20182东北三省四校模拟)已知角α的终边经过点P(4a，3a)(a<0)，则25sin α－7tan 2α的值为________. 3a33a3解析 由题意知tan α＝＝，sin α＝＝－. 4a45|a|52tan α24

∴tan 2α＝＝， 22＝1－tanα7

?3?1－???4?

24?3?∴25sin α－7tan 2α＝253?－?－73＝－39. 7?5?答案 －39

8.(20182全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b＋c－a＝8，则△ABC的面积为________.

解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C≠0，1b＋c－a838311222

所以sin A＝.因为b＋c－a＝8，所以cos A＝＝＝，所以bc＝.所以S△ABC＝bcsin A＝

22bc2bc23223

831233＝. 323

23

3

2

2

2

2

2

2

23

34

答案

三、解答题

→→

9.(20182济南二模)在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝23，AM＝MC. (1)求BM的长；

2π1

(2)设D是平面ABC内一动点，且满足∠BDM＝，求BD＋MD的取值范围.

32解 (1)在△ABC中，AB＝AC＋BC－2AC2BC2cos C， 1

代入数据，得cos C＝－. 2→→∵AM＝MC， 1

∴CM＝MA＝AC＝1.

2

在△CBM中，由余弦定理知： BM＝CM＋CB－2CM2CB2cos C＝7， 所以BM＝7.

(2)设∠MBD＝θ，则∠DMB＝

π?π?－θ，θ∈?0，?.

3?3?

2

2

2

2

2

2

在△BDM中，由正弦定理知： BD

?πsin?－θ

?3

MD＝＝?sin θ

BM27

＝. 2π3sin

3

??

27?π

∴BD＝sin?－θ

?33?，MD＝27sin θ，

??3

1277?π?∴BD＋MD＝sin?－θ?＋sin θ

2?3?33

73

＝(3cos θ－sin θ＋sin θ)＝7cos θ，

?π??1?又θ∈?0，?，∴cos θ∈?，1?.

3???2?

1?7?

故BD＋MD的取值范围是?，7?.

2?2?

?π?10.(20182天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos?B－?.

6??

(1)求角B的大小；

(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值. 解 (1)在△ABC中，由正弦定理得bsin A＝asin B，

ab

＝， sin Asin B

?又由bsin A＝acos?B－

?

π??， 6?

?π?得asin B＝acos?B－?，

6??

即sin B＝cos?B－可得tan B＝3.

又因为B∈(0，π)，可得B＝

π

. 3

??

π?， 6??

π

(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，

3有b＝a＋c－2accos B＝7，故b＝7. 3?π?由bsin A＝acos?B－?，可得sin A＝. 6??7因为a

27. 43

， 7

2

2

2

因此sin 2A＝2sin Acos A＝12

cos 2A＝2cosA－1＝. 7

所以，sin(2A－B)＝sin 2Acos B－cos 2Asin B＝

4311333

3－3＝. 727214

?3π?2

11.(20182湖南六校联考)已知函数f(x)＝3sin(2 018π－x)sin?＋x?－cosx＋1.

?2?

(1)求函数f(x)的递增区间；

3

(2)若△ABC的角A，B，C所对的边为a，b，c，角A的平分线交BC于D，f(A)＝，AD＝2BD＝2，求cos C.

2解 (1)f(x)＝3sin xcos x－cosx＋1 ＝＝

31

sin 2x－(1＋cos 2x)＋1 22

π?1311?sin 2x－cos 2x＋＝sin?2x－?＋. 6?2222?

πππ

≤2x－≤2kπ＋，k∈Z， 262

2

令2kπ－

ππ

解得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.

63所以递增区间是?kπ－

?

?

ππ，kπ＋?(k∈Z). 63??

π?3?(2)f(A)＝?sin?2A－?＝1， 6?2?得到2A－

πππ

＝2kπ＋?A＝kπ＋，k∈Z， 623

ππ

，所以∠BAD＝. 36

由0

BDAD2π3π

由正弦定理得＝?sin B＝，B＝或B＝(舍去)，

sin∠BADsin B244ππππ6－2

所以cos C＝－cos(A＋B)＝sinsin－coscos＝.

34344