精选2019届高三数学（理）二轮专题复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形

第2讲 三角恒等变换与解三角形

高考定位 1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.

真 题 感 悟

C5

1.(20182全国Ⅱ卷)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )

25A.42

B.30

C.29

2

D. 25

C53?5?2C

解析 因为cos ＝，所以cos C＝2cos －1＝23??－1＝－. 2525?5?

?3?22222

于是，在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC＋BC－2AC3BC3cos C＝5＋1－235313?－?＝32.所以AB＝42.

?5?

答案 A

2.(20172全国Ⅰ卷)已知α∈?0，

??

π?π??，tan α＝2，则cos?α－? ＝________. ?2?4??

?π?解析 ∵α∈?0，?，且tan α＝2，∴sin α＝2 cos α，

2??

又sin α＋cosα＝1，所以sin α＝

2

2

255

，cos α＝. 55

π?2310?所以cos?α－?＝(cos α＋sin α)＝. 4?210?答案

310 10

3.(20182全国Ⅰ卷)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5. (1)求cos∠ADB； (2)若DC＝22，求BC.

BDAB52

解 (1)在△ABD中，由正弦定理得＝，即＝，

sin∠Asin∠ADBsin 45°sin∠ADB所以sin∠ADB＝

2

. 5

由题设知，∠ADB<90°， 所以cos∠ADB＝

2231－＝. 255

2

. 5

(2)由题设及(1)知，cos∠BDC＝sin∠ADB＝在△BCD中，由余弦定理得

BC＝BD＋DC－22BD2DC2cos∠BDC

2

2

2

＝25＋8－2353223所以BC＝5.

2

＝25. 5

4??3

4.(20182浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P ?－，－?.

5??5(1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝

5

，求cos β的值. 13

4??3

解 (1)由角α的终边过点P ?－，－?，

5??54

得sin α＝－，

5

4

所以sin(α＋π)＝－sin α＝. 5

4?3?3

(2)由角α的终边过点P ?－，－?，得cos α＝－，

5?5?5512

由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.

1313

由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α， 5616

所以cos β＝－或cos β＝.

6565

考 点 整 合

1.三角函数公式

(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式： sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝cos αcos β?sin αsin β； tan(α±β)＝

tan α±tan β

. 1?tan αtan β

2

2

2

2

(2)二倍角公式：sin 2α＝2sin αcos α，cos 2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα. b22

(3)辅助角公式：asin x＋bcos x＝a＋bsin(x＋φ)，其中tan φ＝. a2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 (1)正弦定理

abc

在△ABC中，＝＝＝2R(R为△ABC的外接圆半径)；

sin Asin Bsin C变形：a＝2Rsin A，sin A＝

a， 2R

a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C等. (2)余弦定理

在△ABC中，a＝b＋c－2bccos A；

b＋c－a

变形：b＋c－a＝2bccos A，cos A＝. 2bc

2

2

2

2

2

2

2

2

2

(3)三角形面积公式

111

S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B. 222

热点一 三角恒等变换及应用

45【例1】 (20182江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.

35(1)求cos 2α的值； (2)求tan(α－β)的值.

4sin α

解 (1)因为tan α＝，tan α＝，

3cos α4

所以sin α＝cos α.

3

因为sinα＋cosα＝1，所以cosα＝因此，cos 2α＝2cosα－1＝－

2

2

2

2

9， 25

7. 25

(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈ (0，π). 又因为cos(α＋β)＝－5， 5

252

所以sin(α＋β)＝1－cos（α＋β）＝，

5因此tan(α＋β)＝－2.

42tan α24

因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－， 2

31－tanα7

tan 2α－tan（α＋β）2

因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.

1＋tan 2αtan（α＋β）11探究提高 1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值. 2.解决条件求值问题的三个关注点

(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.

(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.

π???π?2

【训练1】 (1)(20182广西三市联考)已知x∈(0，π)，且cos?2x－?＝sinx，则tan?x－?等于( )

2?4???1

A. 3

1B.－

3

C.3

D.－3

1143ππ

(2)若cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，0<β<<α<，则α＋β的值为________.

14742π??22

解析 (1)由cos?2x－?＝sinx得sin 2x＝sinx，

2??又x∈(0，π)，则tan x＝2，

?π?tan x－1＝1. 故tan?x－?＝

4?1＋tan x3?

11π

(2)因为cos(2α－β)＝－且<2α－β<π，

144所以sin(2α－β)＝因为sin(α－2β)＝

53

. 14

43ππ

且－<α－2β<， 742

1

所以cos(α－2β)＝.

7

所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]

＝cos(2α－β)2cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－因为

111534313＋3＝. 1471472

π3ππ<α＋β<，所以α＋β＝. 443

π

3

答案 (1)A (2)

热点二 正弦定理与余弦定理

考法1 利用正(余)弦定理进行边角计算

【例2－1】 (20182潍坊一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a＋2c)cos B＋bcos A＝0. (1)求B；

(2)若b＝3，△ABC的周长为3＋23，求△ABC的面积. 解 (1)由已知及正弦定理得

(sin A＋2sin C)cos B＋sin Bcos A＝0， (sin Acos B＋sin Bcos A)＋2sin Ccos B＝0， sin(A＋B)＋2sin Ccos B＝0，

又sin(A＋B)＝sin C，且C∈(0，π)，sin C≠0， 12

∴cos B＝－，∵0

23(2)由余弦定理，得9＝a＋c－2accos B. ∴a＋c＋ac＝9，则(a＋c)－ac＝9. ∵a＋b＋c＝3＋23，∴a＋c＝23，

11333

∴ac＝3，∴S△ABC＝acsin B＝333＝.

2224

【迁移探究1】 若本题第(2)问条件变为“若b＝3，S△ABC＝133

解 由S△ABC＝ac2sin B＝，

241333

∴ac2＝，则ac＝3. 224

由余弦定理，得b＝a＋c－2accos B＝(a＋c)－ac， 所以(a＋c)＝b＋ac＝9＋3＝12，故a＋c＝23.

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

33

”，试求a＋c的值. 4