江苏省海安县实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题

因为椭圆T经过点(1, 0),

?a2?2，??a2?2，?a2?b2?所以? 解得?2

b?1．01?????1，22?b?ay2故椭圆T的方程为?x2?1.??????4分

2y2(2)由题意知,矩形ABCD是椭圆x??1的外切矩形,

22①(i)若矩形ABCD的边与坐标轴不平行,则可设一组对边所在直线的方程为y?kx?m(k?0),

?2y2?x??1，则由?消去y得(k2?2)x2?2kmx?m2?2?0,??????6分 2??y?kx?m于是??4k2m2?4(k2?2)(m2?2)?0,化简得m??k2?2. 所以矩形ABCD的一组对边所在直线的方程为y?kx?k2?2,即y?kx??k2?2, 则另一组对边所在直线的方程为ky?x??1?2k2, 于是矩形顶点坐标(x,y)满足(y?kx)2?(ky?x)2?(k2?2)?(1?2k2), 即(1?k2)(x2?y2)?3(1?k2),亦即x2?y2?3.??????8分

(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则四个顶点(?1，?2)显然满足x2?y2?3. 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆x2?y2?3上.??????10分

②当矩形ABCD的边与坐标轴不平行时,由①知,一组对边所在直线间的距离为另一组

2对边的边长,于是矩形的一条边长为2k?2,另一条边长为1?k22???2?22k?1.

1?k1???1?k?1k222242k?12242k4k?2?2k?1?42k?5k?2?所以S?221?k1?kk?1k???1,??????12分

2242t?1?42?1?42，6?21令t?k?,则t??2，???,于是S??.???14分 tkt2?②若矩形ABCD的边与坐标轴平行,则S?42. ?故S的取值范围是??42，6?.??????16分

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