江苏省海安县实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题

9. 长、宽、高分别为4，3，2的长方体的外接球的表面积为 27?

2y2x10. 设椭圆2?2?1（a?b?0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦ab的长等于点F1 到l1的距离，则椭圆的离心率是 1 ．

211. 现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.

若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 7

12. 在平面直角坐标系xoy中，P为双曲线x2?y2?1右支上的一个动点.若点P到直线

x?y?1?0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 2 . 213. 已知抛物线C:y2?2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于

点A，与C的一个交点为B．若AM?MB，则p? 2 ．

?????????y2?1的右焦点，P是C左支上一点，A0,66 ，当?APF 14. 已知F是双曲线C:x?82??周长最小时，该三角形的面积为 ．126

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．

15. (本题满分14分) 已知命题p：?x??1命题q：?x?R，x2?2ax?2?a?0． ，2?，x2?a≥0；若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．

2?恒成立．而函数y?x2(1≤x≤2)的最小值为1， 【解】： p是真命题?a≤x2对x??1，1?．???5分 所以使p为真命题的a的取值范围是???，q是真命题?关于x的方程x2?2ax?2?a?0有解， 即??(2a)2?4(2?a)?4(a?2)(a?1)≥0，亦即a≤?2或a≥1．

?2???1，+??． ???10分 所以使q为真命题的a的取值范围是???，命题“p且q”是真命题?p，q都是真命题．???12分

?2??{1}．???14分 故使p和q为真命题的a的取值范围是???，

16. (本题满分14分) 河上有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶5m时，水面宽为8m，一小船宽

4m，高2m，载货后船露出水面上的部分高时，小船恰好能通行.

解：建立直角坐标系，设抛物线型拱桥方程为x2??2py?p?0?， 过A??4,?5?，B?4,?5?. P?3m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米4816 ,x2??y???5分 555由于小船宽4m，当x??2时，y??，

4即当船顶距抛物线拱顶为

5m时，小船恰好能通过.???10分 4又载货后，船露出水面上的部分高当水面距抛物线拱顶距离d?3m. 435???2m时，小船恰好能通行.???13分 44答：当水面上涨到与抛物线拱顶相距2m时，小船恰好能通行.???14分

17. (本题满分15分) 如图，三棱台A1B1C1?ABC的底面是直角三

角形，?ABC为直角，侧棱A1A?底面ABC. (1) 求证：BC?侧面A1B；

（2）已知AB?8,BC?6,A1A?4,?B1BA?45?,求这个棱台的侧面积.

【证】：（1）∵A1A?底面ABC， ∴A1A?BC,又?ABC为直角， ∴AB?BC,又A1A?AB?A,

∴BC?侧面A1B ???7分 【解】(2) 在平面A1B中，作B1H?AB,H为垂足.

∵?B1BH?45, ∴BH?B1H?A，B1B?42. 1A?4 又AB?8，因而A1B1?4，

?A1C1B1ABC的面积为S1?24. ???9分 故直角梯形A1ABB1

由于Rt?A1B1C1～Rt?ABC,且由AB?8，BC?6,A1B1?4，

可知AC?10.B1C1?3,A1C1?5, 而由BC?平面A1ABB1,得到BC?B1B, 故直角梯形B1BCC1的面积为S2?182. ???12分 又直角梯形A1ACC1的面积为 S3?30，?S侧?S1?S2?S3?18(3?2) ???15分

18. (本题满分15分) 如图，三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为正三角形，D、E分别是BC、CA的中点.

（1）证明：平面PBE⊥平面PAC；

（2）如何在BC上找一点F，使AD//平面PEF？

并说明理由；

（3）若PA=AB=2，对于（2）的点F，求三棱锥

B—PEF的体积.

【证】（1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BE

又∵△ABC是正三角形，且E为AC的中点，∴BE⊥CA.

又PA?CA=A，∴BE⊥平面PAC ???3分 ∵BE?平面PBE，∴平面PBE⊥平面PAC ???5分 【解】（2）取CD的中点F，则F即为所求 ???7分 ∵E、F分别为CA、CD的中点，∴EF//AD.

又EF?平面PEF，AD?平面PEF，∴AD//平面PEF ???10分 （3）VB?PEF?VP?BEF?111333PA?SBEF??2????. ???15分 332224x2y219. (本题满分16分) 如图，F1、F2分别为椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左、右两个

ab焦点，A、B为两个顶点，已知椭圆C上的点1,3到F1、F2两点的距离之和为4. 2（1）求椭圆C的方程和焦点坐标，离心率，准线方程；

（2）过椭圆C的焦点F2作AB的平行线交椭圆于P、Q两点， 求△F1PQ的面积.

（4）若点N(1,1）,试在椭圆上找一点M,使MN+2MF2最小,并求出

该最小值.

??解：（1）由题设知：2a = 4，即a = 2；???1分

1() 将点1,3代入椭圆方程得2?22?1，

22b??32解得b2 = 3；

∴c2 = a2－b2 = 4－3 = 1，

22xy故椭圆方程为??1， 43焦点F1、F2的坐标分别为（-1，0）和（1，0）， e?c?1，准线方程x??4???5分

a2（2）由（1）知A(?2,0),B(0,3)， ?kPQ?kAB? ∴PQ所在直线方程为y?3(x?1),

23， 2?3y?(x?1)?2由?得 8y2?43y?9?0，???7分 ?22?x?y?1?3?4设P (x1，y1)，Q (x2，y2)，则y1?y2???y1?y2?(y1?y2)2?4y1y2?39,y1?y2??，???8分 283921， ?4??482?S?F1PQ?112121F1F2?y1?y2??2??.???11分 2222?? (3) M?26,1?, dmin?3???16分

?3?

20. (本题满分16分) 在平面直角坐标系xOy中,设椭圆T的中心在坐标原点,一条准线方程为

y?2,且经过点(1,0).

(1)求椭圆T的方程;

(2)设四边形ABCD是矩形,且四条边都与椭圆T相切. ①求证:满足条件的所有矩形的顶点在一个定圆上; ②求矩形ABCD面积S的取值范围.

【解】(1)因为椭圆T的中心在坐标原点,一条准线方程为有y=2,

y2x2

所以椭圆T的焦点在y轴上,于是可设椭圆T的方程为a2+b2=1(a>b>0).??????2分